previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 14, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Условие задачи

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9. Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS_1, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL:LD=7:2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S_1LM — равнобедренная трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Решение

Соединим точку S_1 с вершинами B, C и D и получим многогранник. Пусть H — середина CD, тогда в \triangle BCD BH — медиана, высота и биссектриса.

Плоскость \left(BSS_1\right) содержит точки O, H и M. B \triangle BSS_1 O — середина SS_1, т.е. BO — медиана. В плоскости \left(BSS_1\right) соединим S_1 и M, S_1M — также медиана. Пусть K=S_1M\cap BO — точка пересечения медиан и по свойству медиан BK:KO=2:1. Точка K\in MS_1\in \left(MS_1L\right),K\in \left(BCD\right) и L\in \left(MS_1L\right),L\in \left(BCD\right), значит, KL — прямая пересечения плоскостей KL=\left(MS_1L\right)\cap \left(BCD\right), E=KL\cap BC.

Сделаем плоский чертёж \triangle BCD.

Все рёбра равны 9. Так как CL:LD=7:2, то CL=7,LD=2, CH=HD=4,5, HL=2,5.

\displaystyle BK=\frac{2}{3}BO=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}BH=\frac{4}{9}BH, значит, \displaystyle \frac{KH}{BH}=\frac{5}{9}, но и \displaystyle \frac{LH}{DH}=\frac{2,5}{4,5}=\frac{5}{9}, следовательно, \triangle KHL\sim \triangle BHD по углу и двум сторонам. \angle LKH=\angle DBH, поэтому LK\parallel DB (LE\parallel DB), а \triangle ELC\sim \triangle BDC — равносторонний и EL=EC=CL=7.

Чтобы достроить сечение, найдём прямую, по которой пересекаются плоскости \left(MS_1L\right) и \left(BSD\right). Пусть \left(MS_1L\right)\cap \left(BSD\right)=MF.

\left. \begin{array}{c}EL\in \left(MS_1L\right) \\EL\parallel BD\Rightarrow EL\parallel \left(BSD\right) \\\left(MS_1L\right)\cap \left(BSD\right)=MF \end{array}\right\}\Rightarrow MF\parallel EL по теореме о прямой и параллельной ей плоскости.

Так как MF\parallel EL, \displaystyle MF=\frac{1}{2}BD=4,5 (MF — средняя линия в \triangle BSD, так как MF\parallel EL\parallel BD и M — середина BS), EL=7\ne MF, то сечение MFLE — трапеция.

Покажем, что эта трапеция равнобедренная, т. е. EM=FL. Действительно, в равностороннем \triangle BSD MF — средняя линия, значит, BM=FD.

BE=2=LD, а \angle MBE=\angle FDL=60^\circ , \triangle MBE=\triangle FDL по двум сторонам и углу между ними, поэтому EM=FL.

MFLE — равнобедренная трапеция.

б) Средняя линия m трапеции равна полусумме её оснований, а их мы уже нашли: EL=7, \; MF=4,5.

\displaystyle m=\frac{EL+MF}{2}=\frac{7+4,5}{2}=\frac{23}{4}.

Ответ:

б) \displaystyle \frac{23}{4}.