Условие задачи
Все рёбра правильной треугольной пирамиды \(SBCD\) с вершиной \(S\) равны 9. Основание \(O\) высоты \(SO\) этой пирамиды является серединой отрезка \(SS_1, \; M\) — середина ребра \(SB\) , точка \(L\) лежит на ребре \(CD\) так, что \(CL:LD=7:2.\)
а) Докажите, что сечение пирамиды \(SBCD\) плоскостью \(S_1LM\) — равнобедренная трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.
Решение
Соединим точку \(S_1\) с вершинами \(B, \; C\) и \(D\) и получим многогранник. Пусть \(H\) — середина \(CD\), тогда в \(\triangle BCD \; BH\) — медиана, высота и биссектриса.
Плоскость \(\left(BSS_1\right)\) содержит точки \(O, \; H\) и \(M\). B \(\triangle BSS_1 \; O\) — середина \(SS_1,\) т.е. \(BO\) — медиана.
В плоскости \(\left(BSS_1\right)\) соединим \(S_1\) и \(M, \; S_1M\) — также медиана.
Пусть \(K=S_1M\cap BO\) — точка пересечения медиан и по свойству медиан \(BK:KO=2:1.\)
Точка \(K\in MS_1\in \left(MS_1L\right), \; K\in \left(BCD\right)\) и \(L\in \left(MS_1L\right), \; L\in \left(BCD\right),\) значит, \(KL\) — прямая пересечения плоскостей \(KL=\left(MS_1L\right)\cap \left(BCD\right), \; E=KL\cap BC.\)
Сделаем плоский чертёж \(\triangle BCD.\)
Все рёбра равны 9. Так как \(CL:LD=7:2,\) то \(CL=7, \; LD=2, \; CH=HD=4,5, \; HL=2,5.\)
\(\displaystyle BK=\frac{2}{3}BO=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}BH=\frac{4}{9}BH,\) значит, \(\displaystyle \frac{KH}{BH}=\frac{5}{9},\) но и \(\displaystyle \frac{LH}{DH}=\frac{2,5}{4,5}=\frac{5}{9},\) следовательно, \(\triangle KHL\sim \triangle BHD\) по углу и двум сторонам.
\(\angle LKH=\angle DBH,\) поэтому \(LK\parallel DB\) (\(LE\parallel DB\)), а \(\triangle ELC\sim \triangle BDC\) — равносторонний и \(EL=EC=CL=7.\)
Чтобы достроить сечение, найдём прямую, по которой пересекаются плоскости \(\left(MS_1L\right)\) и \(\left(BSD\right).\) Пусть \(\left(MS_1L\right)\cap \left(BSD\right)=MF.\)
\(\left. \begin{array}{c}
EL\in \left(MS_1L\right) \\
EL\parallel BD\Rightarrow EL\parallel \left(BSD\right) \\
\left(MS_1L\right)\cap \left(BSD\right)=MF \end{array}
\right\}\Rightarrow MF\parallel EL\) по теореме о прямой и параллельной ей плоскости.
Так как \(MF\parallel EL, \; \displaystyle MF=\frac{1}{2}BD=4,5\) (\(MF\) — средняя линия в \(\triangle BSD,\) так как \(MF\parallel EL\parallel BD\) и \(M\) — середина \(BS\)), \(EL=7\ne MF,\) то сечение \(MFLE\) — трапеция.
Покажем, что эта трапеция равнобедренная, т. е. \(EM=FL.\)
Действительно, в равностороннем \(\triangle BSD\) \(MF\) — средняя линия, значит, \(BM=FD.\)
\(BE=2=LD,\) а \(\angle MBE=\angle FDL=60^\circ , \; \triangle MBE=\triangle FDL\) по двум сторонам и углу между ними, поэтому \(EM=FL.\)
\(MFLE\) — равнобедренная трапеция.
б) Средняя линия \(m\) трапеции равна полусумме её оснований, а их мы уже нашли: \(EL=7, \; MF=4,5.\)
\(\displaystyle m=\frac{EL+MF}{2}=\frac{7+4,5}{2}=\frac{23}{4}.\)
Ответ:
б) \(\displaystyle \frac{23}{4}.\)
