Условие задачи
Решите неравенство \(\displaystyle \frac{3}{x^2+13x+40}\geq \frac{1}{x^2+15x+56}.\)
Решение
\(\displaystyle \frac{3}{x^2+13x+40}\ge \frac{1}{x^2+15x+56}.\)
Разложим знаменатели на множители, воспользовавшись теоремой Виета для корней квадратного трёхчлена.
\(x^2+13x+40=\left(x+5\right)\left(x+8\right)\) (сумма \(x_1+x_2=-13,\) а произведение \(x_1\cdot x_2=40,\) поэтому \(x_1=-8, \; x_2=-5\)).
Аналогично \(x^2+15x+56=\left(x+7\right)\left(x+8\right).\)
\(\displaystyle \frac{3}{\left(x+5\right)\left(x+8\right)}\ge \frac{1}{\left(x+7\right)\left(x+8\right)}, \; \)
\( \displaystyle \frac{1}{x+8}\left(\frac{3}{x+5}-\frac{1}{x+7}\right)\ge 0, \; \)
\( \displaystyle \frac{1}{x+8}\cdot \frac{2x+16}{\left(x+5\right)\left(x+7\right)}\geq 0.\)
Делим обе части на 2, получаем \(\displaystyle \frac{x+8}{\left(x+5\right)\left(x+7\right)\left(x+8\right)}\geq 0.\)
Решаем неравенство методом интервалов, учитывая, что при переходе через точку \(x=-8\) знак не меняется,
и выписываем ответ: \(x\in \left(-\infty ;-8\right)\cup \left(-8;-7\right)\cup \left(-5;+\infty \right).\)
Ответ:
\(x\in \left(-\infty ;-8\right)\cup \left(-8;-7\right)\cup \left(-5;+\infty \right).\)
