previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 15, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Условие задачи

Решите неравенство \displaystyle \frac{3}{x^2+13x+40}\geq \frac{1}{x^2+15x+56}.

Решение

\displaystyle \frac{3}{x^2+13x+40}\ge \frac{1}{x^2+15x+56}. Разложим знаменатели на множители, воспользовавшись теоремой Виета для корней квадратного трёхчлена. x^2+13x+40=\left(x+5\right)\left(x+8\right) (сумма x_1+x_2=-13, а произведение x_1\cdot x_2=40, поэтому x_1=-8, \; x_2=-5), аналогично x^2+15x+56=\left(x+7\right)\left(x+8\right).

\displaystyle \frac{3}{\left(x+5\right)\left(x+8\right)}\ge \frac{1}{\left(x+7\right)\left(x+8\right)}, \;

\frac{1}{x+8}\left(\frac{3}{x+5}-\frac{1}{x+7}\right)\ge 0, \;

\frac{1}{x+8}\cdot \frac{2x+16}{\left(x+5\right)\left(x+7\right)}\geq 0.

Делим обе части на 2, получаем \displaystyle \frac{x+8}{\left(x+5\right)\left(x+7\right)\left(x+8\right)}\geq 0.

Решаем неравенство методом интервалов, учитывая, что при переходе через точку x=-8 знак не меняется,

и выписываем ответ: x\in \left(-\infty ;-8\right)\cup \left(-8;-7\right)\cup \left(-5;+\infty \right).

Ответ:

x\in \left(-\infty ;-8\right)\cup \left(-8;-7\right)\cup \left(-5;+\infty \right).