Решение. Задание 15, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Условие задачи

Решите неравенство $\displaystyle \frac{3}{x^2+13x+40}\geq \frac{1}{x^2+15x+56}.$

Решение

$\displaystyle \frac{3}{x^2+13x+40}\ge \frac{1}{x^2+15x+56}.$ Разложим знаменатели на множители, воспользовавшись теоремой Виета для корней квадратного трёхчлена. $x^2+13x+40=\left(x+5\right)\left(x+8\right)$ (сумма $x_1+x_2=-13,$ а произведение $x_1\cdot x_2=40,$ поэтому $x_1=-8, \; x_2=-5$ ), аналогично $x^2+15x+56=\left(x+7\right)\left(x+8\right).$

$\displaystyle \frac{3}{\left(x+5\right)\left(x+8\right)}\ge \frac{1}{\left(x+7\right)\left(x+8\right)}, \;$

$\frac{1}{x+8}\left(\frac{3}{x+5}-\frac{1}{x+7}\right)\ge 0, \;$

$\frac{1}{x+8}\cdot \frac{2x+16}{\left(x+5\right)\left(x+7\right)}\geq 0.$

Делим обе части на 2, получаем $\displaystyle \frac{x+8}{\left(x+5\right)\left(x+7\right)\left(x+8\right)}\geq 0.$

Решаем неравенство методом интервалов, учитывая, что при переходе через точку $x=-8$ знак не меняется,

и выписываем ответ: $x\in \left(-\infty ;-8\right)\cup \left(-8;-7\right)\cup \left(-5;+\infty \right).$

Ответ:

$x\in \left(-\infty ;-8\right)\cup \left(-8;-7\right)\cup \left(-5;+\infty \right).$

Решение. Задание 15, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Это полезно