previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 16, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Условие задачи

В треугольнике ABC проведена биссектриса BK.

а) Докажите, что \displaystyle \frac{AK}{AB}=\frac{CK}{BC}.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если AB =13, BC = 7 и \displaystyle BK=\frac{7\sqrt{13}}{4}.

Решение

а) Пусть \angle CBK=\angle ABK=\varphi , а BK=l, тогда \displaystyle S_{\triangle CBK}=\frac{1}{2}BC\cdot l{sin \varphi }, \; S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}AB\cdot l{sin \varphi }, и отношение \displaystyle \frac{S_{\triangle CBK}}{S_{\triangle ABK}}=\frac{BC}{AB}.

С другой стороны, у них общая высота BH, поэтому \displaystyle S_{\triangle CBK}=\frac{1}{2}CK\cdot BH, \; S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}AK\cdot BH, и отношение \displaystyle \frac{S_{\triangle CBK}}{S_{\triangle ABK}}=\frac{CK}{AK}, \displaystyle \frac{BC}{AB}=\frac{CK}{AK} или \displaystyle \frac{AK}{AB}=\frac{CK}{BC}, что и требовалось доказать.

б) Выведем формулу для длины биссектрисы, используя свойство, доказанное в а).

Пусть BC=a, \; AB=c, \; CK=m, \; AK=n. По теореме косинусов для \triangle CBK получим

m^2=a^2+l^2-2al{cos \varphi }, а по теореме косинусов для \triangle ABK получим

n^2=c^2+l^2-2cl{cos \varphi }. Так как

\displaystyle \frac{m^2}{n^2}=\frac{a^2}{c^2} (см. а)), то \displaystyle \frac{a^2+l^2-2al{cos \varphi }}{c^2+l^2-2cl{cos \varphi }}=\frac{a^2}{c^2}, откуда получаем

a^2c^2+a^2l^2-2a^2cl{cos \varphi }=a^2c^2+c^2l^2-2alc^2{cos \varphi } или

l^2\left(a^2-c^2\right)=2acl{cos \varphi }\left(a-c\right),

l^2\left(a+c\right)\left(a-c\right)=2acl{cos \varphi }\left(a-c\right).

Так как l\neq 0, \; a\neq c, то сокращая, получим

l=\displaystyle \frac{2ac{cos \varphi }}{a+c}.

Подставляя данные задачи в формулу, получим \displaystyle \frac{7\sqrt{13}}{4}=\frac{2\cdot 7\cdot 13{cos \varphi }}{20}, откуда \displaystyle {cos \varphi }=\frac{20\sqrt{13}}{4\cdot 2\cdot 13}=\frac{5}{2\sqrt{13}}=\frac{5}{\sqrt{52}}. Так как угол \varphi острый, то \displaystyle {sin \varphi }=\sqrt{1-\frac{25}{52}}=\frac{\sqrt{27}}{2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}.

Зная {sin \varphi }, найдём площадь \triangle ABK. \displaystyle S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}AB\cdot BK{sin \varphi }=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot \frac{7\sqrt{13}}{4}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}=\frac{39\cdot 7\sqrt{3}}{16}. Площадь \triangle CBK найдём из отношения \displaystyle \frac{S_{\triangle CBK}}{S_{\triangle ABK}}=\frac{BC}{AB}=\frac{7}{13}, \; S_{\triangle CBK}=\frac{7}{13}\cdot S_{\triangle ABK}=\frac{49\cdot 3\sqrt{3}}{16}. Тогда \displaystyle S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABK}+S_{\triangle CBK}=\frac{39\cdot 7\sqrt{3}}{16}+\frac{49\cdot 3\sqrt{3}}{16}=\frac{3\cdot 7\sqrt{3}\left(13+7\right)}{16}=\frac{105\sqrt{3}}{4}.

Ответ:

б) \displaystyle \frac{105\sqrt{3}}{4}.