Решение. Задание 16, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Условие задачи

В треугольнике ABC проведена биссектриса BK.

а) Докажите, что $\displaystyle \frac{AK}{AB}=\frac{CK}{BC}.$

б) Найдите площадь треугольника ABC, если AB =13, BC = 7 и $\displaystyle BK=\frac{7\sqrt{13}}{4}.$

Решение

а) Пусть $\angle CBK=\angle ABK=\varphi ,$ а $BK=l,$ тогда $\displaystyle S_{\triangle CBK}=\frac{1}{2}BC\cdot l{sin \varphi }, \; S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}AB\cdot l{sin \varphi },$ и отношение $\displaystyle \frac{S_{\triangle CBK}}{S_{\triangle ABK}}=\frac{BC}{AB}.$

С другой стороны, у них общая высота BH, поэтому $\displaystyle S_{\triangle CBK}=\frac{1}{2}CK\cdot BH, \; S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}AK\cdot BH,$ и отношение $\displaystyle \frac{S_{\triangle CBK}}{S_{\triangle ABK}}=\frac{CK}{AK},$ $\displaystyle \frac{BC}{AB}=\frac{CK}{AK}$ или $\displaystyle \frac{AK}{AB}=\frac{CK}{BC},$ что и требовалось доказать.

б) Выведем формулу для длины биссектрисы, используя свойство, доказанное в а).

Пусть $BC=a, \; AB=c, \; CK=m, \; AK=n.$ По теореме косинусов для $\triangle CBK$ получим

$m^2=a^2+l^2-2al{cos \varphi },$ а по теореме косинусов для $\triangle ABK$ получим

$n^2=c^2+l^2-2cl{cos \varphi }.$ Так как

$\displaystyle \frac{m^2}{n^2}=\frac{a^2}{c^2}$ (см. а)), то $\displaystyle \frac{a^2+l^2-2al{cos \varphi }}{c^2+l^2-2cl{cos \varphi }}=\frac{a^2}{c^2},$ откуда получаем

$a^2c^2+a^2l^2-2a^2cl{cos \varphi }=a^2c^2+c^2l^2-2alc^2{cos \varphi }$ или

$l^2\left(a^2-c^2\right)=2acl{cos \varphi }\left(a-c\right),$

$l^2\left(a+c\right)\left(a-c\right)=2acl{cos \varphi }\left(a-c\right).$

Так как $l\neq 0, \; a\neq c,$ то сокращая, получим

$l=\displaystyle \frac{2ac{cos \varphi }}{a+c}.$

Подставляя данные задачи в формулу, получим $\displaystyle \frac{7\sqrt{13}}{4}=\frac{2\cdot 7\cdot 13{cos \varphi }}{20},$ откуда $\displaystyle {cos \varphi }=\frac{20\sqrt{13}}{4\cdot 2\cdot 13}=\frac{5}{2\sqrt{13}}=\frac{5}{\sqrt{52}}.$ Так как угол $\varphi$ острый, то $\displaystyle {sin \varphi }=\sqrt{1-\frac{25}{52}}=\frac{\sqrt{27}}{2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}.$

Зная ${sin \varphi },$ найдём площадь $\triangle ABK.$ $\displaystyle S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}AB\cdot BK{sin \varphi }=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot \frac{7\sqrt{13}}{4}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}=\frac{39\cdot 7\sqrt{3}}{16}.$ Площадь $\triangle CBK$ найдём из отношения $\displaystyle \frac{S_{\triangle CBK}}{S_{\triangle ABK}}=\frac{BC}{AB}=\frac{7}{13}, \; S_{\triangle CBK}=\frac{7}{13}\cdot S_{\triangle ABK}=\frac{49\cdot 3\sqrt{3}}{16}.$ Тогда $\displaystyle S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABK}+S_{\triangle CBK}=\frac{39\cdot 7\sqrt{3}}{16}+\frac{49\cdot 3\sqrt{3}}{16}=\frac{3\cdot 7\sqrt{3}\left(13+7\right)}{16}=\frac{105\sqrt{3}}{4}.$

Ответ:

б) $\displaystyle \frac{105\sqrt{3}}{4}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение. Задание 16, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Решение. Задание 16, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Это полезно