Условие задачи
По вкладу «A» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 21% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «A».
Решение
Пусть \(S\) — сумма вклада.
По вкладу «A» каждый год сумма увеличивается в \(\displaystyle k=1+\frac{20}{100}=\frac{6}{5}\) раз и через 3 года будет \(\displaystyle S\cdot {\left(\frac{6}{5}\right)}^3.\)
По вкладу «Б» через 2 года будет \(\displaystyle S\cdot {\left(1,21\right)}^2=S\cdot {\left(\frac{121}{100}\right)}^2,\) а ещё через год под \(p\)% годовых увеличится в \(k\) раз, где \(\displaystyle k=1+\frac{p}{100},\) т. е. через три года вклад «Б» будет \(\displaystyle S\cdot {\left(1,21\right)}^2\cdot k=S\cdot {\left(\frac{121}{100}\right)}^2\cdot k.\)
Найдём наименьшее целое \(p\), при котором вклад «Б» будет выгоднее вклада «A», т.е. должно выполняться неравенство:
\(\displaystyle S\cdot {\left(\frac{121}{100}\right)}^2\cdot k> S\cdot {\left(\frac{6}{5}\right)}^3\) или \(\displaystyle {\left(\frac{121}{100}\right)}^2\cdot k> {\left(\frac{6}{5}\right)}^3,\) так как \(S> 0.\)
Получаем \(\displaystyle k> \frac{6^3}{5^3}\cdot \frac{100^2}{121^2}, \; k> \frac{6^3\cdot 5^4\cdot 2^4}{5^3\cdot 121^2}, \; k> \frac{6^3\cdot 2^3\cdot 2\cdot 5}{11^3\cdot 11}, \; k> {\left(\frac{12}{11}\right)}^3\cdot \left(\frac{10}{11}\right).\)
Перепишем неравенство в виде \(\displaystyle k> {\left(\frac{12}{11}\right)}^2\cdot \left(\frac{12}{11}\right)\cdot \left(\frac{10}{11}\right)\) и вернёмся к \(p\):
\(\displaystyle 1+\frac{p}{100}> {\left(1+\frac{1}{11}\right)}^2\cdot \left(1+\frac{1}{11}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{11}\right), \)
\(\displaystyle 1+\frac{p}{100}> {\left(1+\frac{1}{11}\right)}^2\cdot \left(1-\frac{1}{11^2}\right),\)
\(\displaystyle 1+\frac{p}{100}> \left(1+\frac{2}{11}+\frac{1}{11^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{11^2}\right),\)
\(\displaystyle\underline{1}+\frac{p}{100}> \underline{1}+\frac{2}{11}+\underline{\frac{1}{11^2}}-\underline{\frac{1}{11^2}}-\frac{2}{11^3}-\frac{1}{11^4},\)
\(\displaystyle \frac{p}{100}> \frac{2}{11}-\frac{2}{11^3}-\frac{1}{11^4}, \; p> \frac{200}{11}-\frac{200}{11^3}-\frac{100}{11^4}, \; p> 18+\frac{2}{11}-\frac{200}{11^3}-\frac{100}{11^4}.\)
Оценим величину \(\displaystyle \frac{2}{11}-\frac{200}{11^3}-\frac{100}{11^4}.\) Очевидно, что \(\displaystyle \frac{2}{11}-\frac{200}{11^3}-\frac{100}{11^4} <\frac{2}{11} < 1.\)
С другой стороны, \(\displaystyle \frac{2}{11}-\frac{200}{11^3}-\frac{100}{11^4}=\frac{2\cdot 11^3-200\cdot 11-100}{11^4}=\frac{2\cdot 11\left(11^2-100\right)-100}{11^4}=\)
\(\displaystyle =\frac{2\cdot 11\cdot 21-100}{11^4}=\frac{362}{11^4}> 0.\)
Итак, \(\displaystyle 0 < \frac{2}{11}-\frac{200}{11^3}-\frac{100}{11^4} <1,\) следовательно, \(\displaystyle 18 <18+\frac{2}{11}-\frac{200}{11^3}-\frac{100}{11^4} <19,\) и целое число \(p\) больше числа, заключённого между 18 и 19. Значит, наименьшее значение\(p=19\).
Ответ:
19.
Замечание. Очевидно, что при p=20 вклад «Б» будет выгоднее вклада «A», поэтому достаточно проверить пару значений p=19 и p=18, чтобы ответить на вопрос задачи, т.е. просто посчитать без всяких оценок.
