Условие задачи
Найдите все значения параметра \(a,\) при каждом из которых система
\(\left\{ \begin{array}{c}
x^2+y^2+2\left(2y-x\right)a=1+2a-4a^2, \\
x^2+y^2+4\left(x-y\right)a=4+4a-7a^2 \end{array}
\right.\) имеет единственное решение.
Решение
В первом уравнении системы раскроем скобки, а затем выделим полные квадраты в обеих частях.
\(x^2+y^2+4ya-2xa=1+2a-4a^2,\)
\((x^2-2xa+a^2)+(y^2+4ya+4a^2)=1+2a-4a^2+5a^2,\)
\((x-a)^2+(y+2a)^2=(1+a)^2.\)
Аналогично преобразуем второе уравнение и получаем систему:
\(\left\{\begin{matrix}
(x-a)^2+(y+2a)^2=(1+a)^2, \\(x+2a)^2+(y-2a)^2=(2+a)^2.
\end{matrix}\right.\)
Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке \(P(a;-2a)\) и радиусом \(R_1=|a+1|,\) а второе — окружность с центром в точке \(Q(-2a;2a)\) и радиусом \(R_2=|a+2|.\)
При \(a=-1\) первая окружность превращается в точку, а при \(a=-2\) вторая окружность превращается в точку, но на ход дальнейших рассуждений это не влияет. Центр первой окружности перемещается по прямой \(y=-2x,\) центр второй — по прямой \(y=-x.\) Радиусы окружностей также меняются в зависимости от параметра \(a\).
Из геометрических соображений ясно, что единственное решение возможно только в случае касания окружностей. Это касание может быть как внешним (рис. 1), так и внутренним (рис 2).
 Рис. 1 |
 Рис. 2 |
При этом точка касания лежит на прямой, соединяющей центры окружностей. Для случая внешнего касания \(PQ=R_1+R_2,\) а для внутреннего \(PQ=|R_1-R_2|,\) Получаем совокупность условий:
\(\left[ \begin{gathered}PQ=R_1+R_2, \\PQ = |R_1-R_2|.\end{gathered}\right.\)
Расстояние \(PQ\) можно найти по теореме Пифагора или по формуле расстояния между двумя точками: \(PN=3|a|, \; QN=4|a|, \; PQ=5|a|.\)
Наша совокупность уравнений принимает вид:
\(\left[\begin{gathered}5|a|=|a+1|+|a+2|, \\
5|a|=||a+1|-|a+2||; \end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}5|a|=|a+1|+|a+2|, (1) \\25a^2=(|a+1|-|a+2|)^2. (2)\end{gathered}\right.\)
Обе части второго уравнения неотрицательны, мы возвели их в квадрат.
1) Решим первое уравнение совокупности методом интервалов для модулей. Этот случай соответствует внешнему касанию.
\(|a+1|+|a+2|-5|a|=0;\)
\(5|a|=|a+1|+|a+2|\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}\begin{cases}a \leqslant -2, \\-5a =-a-1-a-2,\end{cases} \\\begin{cases}-2 0,\\5a=a+1+a+2;\end{cases} \\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{gathered}\begin{cases}a \leqslant -2, \\3a=3,
\end{cases} \\\begin{cases}-2 0,\\3a=3;\end{cases} \\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}a=-\frac{3}{7}, \\a=1.
\end{gathered}\right.\)
Это решение последних двух систем, первые 2 системы решений не имеют.
Значит, внешнее касание будет при \(a=-\displaystyle \frac{3}{7}\) или \(a=1.\)
1) Рассмотрим уравнение (2), случай внутреннего касания.
\(25a^2=(|a+1|-|a+2|)^2.\)
Раскрывая скобки, получаем:
\(25a^2=(a+1)^2-2|a+1|\cdot|a+2|+(a+2)^2;\)
\(23a^2-6a-5=-2|(a+1)(a+2)|.\)
Остаётся раскрыть модуль.
Если \(a <-2 \) или \(a >-1, \) то \(23a^2-6a-5=-2(a+1)(a+2),\) отсюда \(25a^2=1; \; a=\pm\displaystyle \frac{1}{5}.\)
Эти решения удовлетворяют условию \(a>-1.\)
В случае \(-2 \leqslant a \leqslant -1 \) получим уравнение:
\(23a^2-6a-5=2(a+1)(a+2);\)
\(7a^2-4a-3=0, \; D=16+4\cdot21=100, \; \sqrt{D}=10;\)
\(a=\displaystyle \frac{4\pm10}{14};\)
\(a_1=-\displaystyle \frac{3}{7}, \; ~a_2=1.\)
Эти корни не лежат на отрезке \([-2;-1].\)
Мы нашли, что внутреннее касание окружностей получается при \(a=\pm\displaystyle \frac{1}{5}.\)
Ответ: \(-\displaystyle \frac{3}{7};\pm\frac{1}{5};1\)
