previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 18, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Условие задачи

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

\left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2+2\left(2y-x\right)a=1+2a-4a^2, \\x^2+y^2+4\left(x-y\right)a=4+4a-7a^2 \end{array}\right. имеет единственное решение.

Решение

\left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2+2\left(2y-x\right)a=1+2a-4a^2, \\x^2+y^2+4\left(x-y\right)a=4+4a-7a^2. \end{array}\right.

В первом уравнении раскроем скобки, а затем выделим полные квадраты в обеих частях.

x^2+y^2+4ya-2xa=1+2a-4a^2,

\left(x^2-2xa+a^2\right)+\left(y^2+4ya+4a^2\right)=1+2a-4a^2+5a^2,

{\left(x-a\right)}^2+{\left(y+2a\right)}^2={\left(1+a\right)}^2.

Аналогично преобразуем второе уравнение и получаем систему

\left\{ \begin{array}{c}{\left(x-a\right)}^2+{\left(y+2a\right)}^2={\left(1+a\right)}^2, \\{\left(x+2a\right)}^2+{\left(y-2a\right)}^2={\left(2+a\right)}^2. \end{array}\right.

Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке P\left(a;-2a\right) и радиусом R_1=\left|a+1\right|, а второе — окружность с центром в точке Q\left(-2a;2a\right) и радиусом R_2=\left|a+2\right| (при a=-1 первая окружность вырождается в точку, а при a=-2 вторая окружность вырождается в точку, но на ход дальнейших рассуждений это не влияет). Центр первой окружности перемещается по прямой y=-2x, второй — по прямой y=-x и радиусы их также меняются. Из геометрических соображений ясно, что единственное решение возможно только в случае касания окружностей. Это касание может быть как внешним (рис. 1), так и внутренним (рис 2).

При этом точка касания лежит на прямой, соединяющей центры окружностей. Для случая внешнего касания PQ=R_1+R_2, а для внутреннего PQ=\left|R_1-R_2\right|. Получаем совокупность условий

\left[ \begin{array}{c}PQ=R_1+R_2, \\PQ=\left|R_1-R_2\right|. \end{array}\right.

Расстояние PQ можно найти по теореме Пифагора или по формуле расстояния между двумя точками: PN=3\left|a\right|, \; QN=4\left|a\right|, \; PQ=5\left|a\right|.

Наша совокупность принимает вид

\left[ \begin{array}{c}5\left|a\right|=\left|a+1\right|+\left|a+2\right|, \\5\left|a\right|=\left|\left|a+1\right|-\left|a+2\right|\right| \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}5\left|a\right|=\left|a+1\right|+\left|a+2\right|, \ \ \left(1\right) \\25a^2={\left(\left|a+1\right|-\left|a+2\right|\right)}^2. \ \left(2\right) \end{array}\right.

(Обе части второго уравнения неотрицательны, мы возвели их в квадрат).

Рассмотрим уравнение (1) 5\left|a\right|=\left|a+1\right|+\left|a+2\right|. В системе координат aOz построим графики функций z=\left|a+1\right|+\left|a+2\right| и z=5\left|a\right|; первый строим графическим сложением, а второй растяжением обычного модуля в 5 раз вдоль оси Oz.

Найдём точки пересечения графиков. 1) Точка E получается при пересечении правой ветви z=\left|a+1\right|+\left|a+2\right| и левой ветви z=5\left|a\right|: -5a=a+1+a+2; -7a=3;\underline{a=-\frac{3}{7}}.

2) Левые ветви графиков не пересекаются: действительно, -5a=-a-1-a-2;a=1\notin \left(-\infty ;-2\right]

3) Точка F получается при пересечении правых ветвей графиков: 5a=a+1+a+2;\underline{a=1}.

Внешнее касание получается при \displaystyle a=-\frac{3}{7} и a=1.

Рассмотрим уравнение (2) 25a^2={\left(\left|a+1\right|-\left|a+2\right|\right)}^2. Раскрывая скобки получаем уравнение 25a^2={\left(a+1\right)}^2-2\left|a+1\right|\cdot \left|a+2\right|+{\left(a+2\right)}^2, 23a^2-6a-5=-2\left|\left(a+1\right)\left(a+2\right)\right|. Остаётся раскрыть модуль.

1 случай.

a\textless -2 или a\textgreater -1. 23a^2-6a-5=-2\left(a+1\right)\left(a+2\right), 23a^2-6a-5=-2a^2-6a-4, 25a^2=1,a=\pm \frac{1}{5}\in \left(-1;+\infty \right).

2 случай.

-2\le a\le -1.

23a^2-6a-5=2\left(a+1\right)\left(a+2\right),

21a^2-12a-9=0.

Сократим на 3.

\displaystyle 7a^2-4a-3=0, \; D=16+4\cdot 21=100, \; \sqrt{D}=10, \;

\displaystyle a=\frac{4\pm 10}{14}, \; a_1=-\frac{3}{7}\notin \left[-2;-1\right], \; a_2=1\notin \left[-2;-1\right].

Внутреннее касание получается при \displaystyle a=\pm \frac{1}{5}.

Ответ:

\displaystyle -\frac{3}{7};\pm \frac{1}{5}; 1.