Условие задачи
Найдите все значения параметра при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение
В первом уравнении раскроем скобки, а затем выделим полные квадраты в обеих частях.
Аналогично преобразуем второе уравнение и получаем систему
Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке и радиусом
а второе — окружность с центром в точке
и радиусом
(при
первая окружность вырождается в точку, а при
вторая окружность вырождается в точку, но на ход дальнейших рассуждений это не влияет). Центр первой окружности перемещается по прямой
второй — по прямой
и радиусы их также меняются. Из геометрических соображений ясно, что единственное решение возможно только в случае касания окружностей. Это касание может быть как внешним (рис. 1), так и внутренним (рис 2).
При этом точка касания лежит на прямой, соединяющей центры окружностей. Для случая внешнего касания а для внутреннего
Получаем совокупность условий
Расстояние можно найти по теореме Пифагора или по формуле расстояния между двумя точками:
Наша совокупность принимает вид
(Обе части второго уравнения неотрицательны, мы возвели их в квадрат).
Рассмотрим уравнение (1) В системе координат aOz построим графики функций
и
первый строим графическим сложением, а второй растяжением обычного модуля в 5 раз вдоль оси Oz.
Найдём точки пересечения графиков. 1) Точка E получается при пересечении правой ветви и левой ветви
2) Левые ветви графиков не пересекаются: действительно,
3) Точка F получается при пересечении правых ветвей графиков:
Внешнее касание получается при и
Рассмотрим уравнение (2) Раскрывая скобки получаем уравнение
Остаётся раскрыть модуль.
1 случай.
или
2 случай.
Сократим на 3.
Внутреннее касание получается при
Ответ: