Решение. Задание 18, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Условие задачи

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

$\left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2+2\left(2y-x\right)a=1+2a-4a^2, \\x^2+y^2+4\left(x-y\right)a=4+4a-7a^2 \end{array}\right.$ имеет единственное решение.

Решение

В первом уравнении системы раскроем скобки, а затем выделим полные квадраты в обеих частях.

$x^2+y^2+4ya-2xa=1+2a-4a^2,$

$(x^2-2xa+a^2)+(y^2+4ya+4a^2)=1+2a-4a^2+5a^2,$

$(x-a)^2+(y+2a)^2=(1+a)^2$

Аналогично преобразуем второе уравнение и получаем систему:

$\begin{cases} (x-a)^2+(y+2a)^2=(1+a)^2; \\ (x+2a)^2+(y-2a)^2=(2+a)^2.\end{cases}$

Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке $P(a;-2a)$ и радиусом $R_1=|a+1|,$ а второе — окружность с центром в точке $Q(-2a;2a)$ и радиусом $R_2=|a+2|.$

При $a=-1$ первая окружность превращается в точку, а при $a=-2$ вторая окружность превращается в точку, но на ход дальнейших рассуждений это не влияет. Центр первой окружности перемещается по прямой $y=-2x,$ центр второй — по прямой $y=-x.$ Радиусы окружностей также меняются в зависимости от параметра а.

Из геометрических соображений ясно, что единственное решение возможно только в случае касания окружностей. Это касание может быть как внешним (рис. 1), так и внутренним (рис 2).

Рис. 1

Рис. 2

При этом точка касания лежит на прямой, соединяющей центры окружностей. Для случая внешнего касания $PQ=R_1+R_2,$ а для внутреннего $PQ=|R_1-R_2|,$ Получаем совокупность условий:

$\left[ \begin{gathered} PQ=R_1+R_2, \\ PQ = |R_1-R_2|. \end{gathered} \right.$

Расстояние $PQ$ можно найти по теореме Пифагора или по формуле расстояния между двумя точками: $PN=3|a|,QN=4|a|,PQ=5|a|.$

Наша совокупность уравнений принимает вид:

$\left[ \begin{gathered} 5|a|=|a+1|+|a+2|, \\ 5|a|=||a+1|-|a+2|| \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 5|a|=|a+1|+|a+2|, (1) \\ 25a^2=(|a+1|-|a+2|)^2. (2) \end{gathered} \right.$

Обе части второго уравнения неотрицательны, мы возвели их в квадрат.

1) Решим первое уравнение совокупности методом интервалов для модулей.
Этот случай соответствует внешнему касанию.

$|a+1|+|a+2|-5|a|=0;$

$5|a|=|a+1|+|a+2| \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} a \leqslant -2 \\ -5a =-a-1-a-2 \end{cases} \\ \begin{cases} -2 <a \leqslant -1 \\ -5a =-a-1+a+2 \end{cases} \\ \begin{cases} -1 < a \leqslant 0 \\ -5a=a+1+a+2 \end{cases} \\ \begin{cases} a>0\\ 5a=a+1+a+2 \end{cases} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} a \leqslant -2 \\ 3a=3 \end{cases} \\ \begin{cases} -2 <a \leqslant -1 \\ 5a=-1 \end{cases} \\ \begin{cases} -1 < a \leqslant 0 \\ 7a=-3 \end{cases} \\ \begin{cases} a>0\\ 3a=3 \end{cases} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a=-\frac{3}{7} \\ a=1 \end{gathered} \right.$