Условие задачи
Найдите все значения параметра при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение
В первом уравнении системы раскроем скобки, а затем выделим полные квадраты в обеих частях.
Аналогично преобразуем второе уравнение и получаем систему:
Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке и радиусом
а второе — окружность с центром в точке
и радиусом
При первая окружность превращается в точку, а при
вторая окружность превращается в точку, но на ход дальнейших рассуждений это не влияет. Центр первой окружности перемещается по прямой
центр второй — по прямой
Радиусы окружностей также меняются в зависимости от параметра а.
Из геометрических соображений ясно, что единственное решение возможно только в случае касания окружностей. Это касание может быть как внешним (рис. 1), так и внутренним (рис 2).
![]() Рис. 1 |
![]() Рис. 2 |
При этом точка касания лежит на прямой, соединяющей центры окружностей. Для случая внешнего касания а для внутреннего
Получаем совокупность условий:
Расстояние можно найти по теореме Пифагора или по формуле расстояния между двумя точками:
Наша совокупность уравнений принимает вид:
Обе части второго уравнения неотрицательны, мы возвели их в квадрат.
1) Решим первое уравнение совокупности методом интервалов для модулей.
Этот случай соответствует внешнему касанию.
Это решения последних двух систем, первые 2 системы решений не имеют.
Значит, внешнее касание будет при или
1) Рассмотрим уравнение (2), случай внутреннего касания.
Раскрывая скобки, получаем:
Остаётся раскрыть модуль.
Если или
то
отсюда
Эти решения удовлетворяют условию
В случае получим уравнение:
Эти корни не лежат на отрезке
Мы нашли, что внутреннее касание окружностей получается при
Ответ:
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение. Задание 18, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 15.03.2023