previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 18, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Условие задачи

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

\left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2+2\left(2y-x\right)a=1+2a-4a^2, \\x^2+y^2+4\left(x-y\right)a=4+4a-7a^2 \end{array}\right. имеет единственное решение.

Решение

В первом уравнении системы раскроем скобки, а затем выделим полные квадраты в обеих частях.

x^2+y^2+4ya-2xa=1+2a-4a^2,

(x^2-2xa+a^2)+(y^2+4ya+4a^2)=1+2a-4a^2+5a^2,

(x-a)^2+(y+2a)^2=(1+a)^2

Аналогично преобразуем второе уравнение и получаем систему:

\begin{cases}    (x-a)^2+(y+2a)^2=(1+a)^2; \\    (x+2a)^2+(y-2a)^2=(2+a)^2.\end{cases}

Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке P(a;-2a) и радиусом R_1=|a+1|, а второе — окружность с центром в точке Q(-2a;2a) и радиусом R_2=|a+2|.

При a=-1 первая окружность превращается в точку, а при a=-2 вторая окружность превращается в точку, но на ход дальнейших рассуждений это не влияет. Центр первой окружности перемещается по прямой y=-2x, центр второй — по прямой y=-x. Радиусы окружностей также меняются в зависимости от параметра а.

Из геометрических соображений ясно, что единственное решение возможно только в случае касания окружностей. Это касание может быть как внешним (рис. 1), так и внутренним (рис 2).


Рис. 1

Рис. 2

При этом точка касания лежит на прямой, соединяющей центры окружностей. Для случая внешнего касания PQ=R_1+R_2, а для внутреннего PQ=|R_1-R_2|, Получаем совокупность условий:

    \left[    \begin{gathered}    PQ=R_1+R_2, \\    PQ = |R_1-R_2|.    \end{gathered}    \right.

Расстояние PQ можно найти по теореме Пифагора или по формуле расстояния между двумя точками: PN=3|a|,QN=4|a|,PQ=5|a|.

Наша совокупность уравнений принимает вид:

    \left[    \begin{gathered}      5|a|=|a+1|+|a+2|, \\      5|a|=||a+1|-|a+2||    \end{gathered}    \right.    \Leftrightarrow     \left[    \begin{gathered}      5|a|=|a+1|+|a+2|, (1) \\      25a^2=(|a+1|-|a+2|)^2. (2)    \end{gathered}    \right.

Обе части второго уравнения неотрицательны, мы возвели их в квадрат.

1) Решим первое уравнение совокупности методом интервалов для модулей.
Этот случай соответствует внешнему касанию.

|a+1|+|a+2|-5|a|=0;

     5|a|=|a+1|+|a+2|    \Leftrightarrow     \left[    \begin{gathered}      \begin{cases}      a \leqslant -2 \\      -5a =-a-1-a-2      \end{cases} \\       \begin{cases}        -2 <a \leqslant -1 \\         -5a =-a-1+a+2      \end{cases} \\        \begin{cases}        -1 < a \leqslant 0 \\        -5a=a+1+a+2      \end{cases} \\        \begin{cases}        a>0\\        5a=a+1+a+2      \end{cases} \\    \end{gathered}    \right.          \Leftrightarrow \\      \Leftrightarrow           \left[    \begin{gathered}      \begin{cases}      a \leqslant -2 \\      3a=3      \end{cases} \\       \begin{cases}        -2 <a \leqslant -1 \\         5a=-1      \end{cases} \\        \begin{cases}        -1 < a \leqslant 0 \\        7a=-3      \end{cases} \\        \begin{cases}        a>0\\        3a=3      \end{cases} \\    \end{gathered}    \right.      \Leftrightarrow        \left[    \begin{gathered}      a=-\frac{3}{7} \\      a=1      \end{gathered}      \right.

Это решения последних двух систем, первые 2 системы решений не имеют.
Значит, внешнее касание будет при a=-\frac{3}{7} или a=1.

1) Рассмотрим уравнение (2), случай внутреннего касания.

25a^2=(|a+1|-|a+2|)^2.

Раскрывая скобки, получаем:

25a^2=(a+1)^2-2|a+1|\cdot|a+2|+(a+2)^2

23a^2-6a-5=-2|(a+1)(a+2)|.

Остаётся раскрыть модуль.

Если a <-2 или a >-1, то 23a^2-6a-5=-2(a+1)(a+2), отсюда 25a^2=1; a=\pm\frac{1}{5}.

Эти решения удовлетворяют условию a>-1.

В случае -2 \leqslant a \leqslant -1 получим уравнение:

23a^2-6a-5=2(a+1)(a+2),

7a^2-4a-3=0, D=16+4\cdot21=100, \sqrt{D}=10,

a=\frac{4\pm10}{14}

a_1=-\frac{3}{7},~a_2=1.

Эти корни не лежат на отрезке [-2;-1].

Мы нашли, что внутреннее касание окружностей получается при a=\pm\frac{1}{5}.

Ответ: -\frac{3}{7};\pm\frac{1}{5};1