Условие задачи
Известно, что и
— это числа 2, 3, 4, 5, 6 и 9, расставленные без повторений в некотором, возможно ином, порядке.
а) Может ли выполняться равенство ?
б) Может ли выполняться равенство ?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма ?
Решение
а) a=6, b=2, c=9, d=3, e=5 и f=4.
Да, может.
б) Предположим, что
Мы сложили три дроби и получили дробь со знаменателем 90.
Заметим, что
Значит, у одной из дробей знаменатель был равен 5, у другой — кратный двум, то есть равен 2, 4 или 6, а у третьей равен 9.
Действительно, на число 90 делится наименьшее общее кратное чисел 2, 5, 9; 4, 5, 9 и 6, 5, 9, принадлежащих исходному набору чисел. Рассмотрим три этих варианта.
1) Пусть тогда
2) Пусть тогда
3) Пусть тогда
Значит, мы не можем получить
Нет, не может.
в) Найдём наименьшее значение суммы Выясним, какими могут быть знаменатели этих дробей.
1) Знаменатель не может быть меньше числителя, потому что, поменяв числитель и знаменатель местами, мы уменьшаем данную дробь, а значит, и всю сумму.
2) 9 может быть только знаменателем, и можно предположить, что и оставшиеся знаменатели должны быть максимальными. Действительно, если 6 стоит в числителе, то поменяв её со знаменателем, меньшим её, мы сразу уменьшим две дроби, а значит, и всю сумму. Аналогично для 5.
Итак, наименьшее значение суммы
может быть только вида
Это оценка. Приведём пример.
Ответ:
а) да может; б) нет, не может; в)