Решение. Задание 19, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Условие задачи

Известно, что $a, b, c, d, e$ и $f$ — это числа 2, 3, 4, 5, 6 и 9, расставленные без повторений в некотором, возможно, ином порядке.

а) Может ли выполняться равенство $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{29}{4}$ ?

б) Может ли выполняться равенство $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{451}{90}$ ?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}$ ?

Решение

а) $\displaystyle \frac{29}{4}=7+\frac{1}{4}=3+3+\frac{5}{4}=\frac{6}{2}+\frac{9}{3}+\frac{5}{4},$ a=6, b=2, c=9, d=3, e=5 и f=4.

Да, может.

б) Предположим, что $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{451}{90}.$

Мы сложили три дроби и получили дробь со знаменателем 90.

Заметим, что $90=9\cdot 2\cdot 5.$

Значит, у одной из дробей знаменатель был равен 5, у другой — кратный двум, то есть равен 2, 4 или 6, а у третьей равен 9.

Действительно, на число 90 делится наименьшее общее кратное чисел 2, 5, 9; 4, 5, 9 и 6, 5, 9, принадлежащих исходному набору чисел. Рассмотрим три этих варианта.

1) Пусть $b=2, \; d=5, \; f=9,$ тогда

$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{2}+\frac{c}{5}+\frac{e}{9}\textless \frac{6}{2}+\frac{6}{5}+\frac{6}{9}=\frac{6\cdot \left(45+18+10\right)}{90}=\frac{73}{15}\textless 5\textless \frac{451}{90}.$

2) Пусть $b=4, \; d=5, \; f=9,$ тогда

$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{4}+\frac{c}{5}+\frac{e}{9}\textless \frac{6}{4}+\frac{6}{5}+\frac{6}{9}=\frac{6\cdot \left(45+36+20\right)}{180}=\frac{101}{30}\textless 4\textless \frac{451}{90}.$

3) Пусть $b=6, \; d=5,\; f=9,$ тогда

$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{6}+\frac{c}{5}+\frac{e}{9}\textless \frac{4}{6}+\frac{4}{5}+\frac{4}{9}=\frac{4\cdot \left(15+18+10\right)}{90}=\frac{86}{45}\textless 2\textless \frac{451}{90}.$

Значит, мы не можем получить $\displaystyle \frac{451}{90}.$

Нет, не может.

в) Найдём наименьшее значение суммы $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}.$ Выясним, какими могут быть знаменатели этих дробей.

1) Знаменатель не может быть меньше числителя, потому что, поменяв числитель и знаменатель местами, мы уменьшаем данную дробь, а значит, и всю сумму.

2) 9 может быть только знаменателем, и можно предположить, что и оставшиеся знаменатели должны быть максимальными. Действительно, если 6 стоит в числителе, то поменяв её со знаменателем, меньшим её, мы сразу уменьшим две дроби, а значит, и всю сумму. Аналогично для 5.

Итак, наименьшее значение суммы

$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}$ может быть только вида

$\displaystyle \frac{a}{5}+\frac{c}{6}+\frac{e}{9}=\frac{18a+15c+10e}{90}=\frac{10\left(a+c+e\right)+5\left(a+c\right)+3a}{90}\ge$