Условие задачи
Известно, что \( a, b, c, d, e\) и \( f\) — это числа 2, 3, 4, 5, 6 и 9, расставленные без повторений в некотором, возможно, ином порядке.
а) Может ли выполняться равенство \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{29}{4}\)?
б) Может ли выполняться равенство \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{451}{90}\)?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\)?
Решение
а) \(\displaystyle \frac{29}{4}=7+\frac{1}{4}=3+3+\frac{5}{4}=\frac{6}{2}+\frac{9}{3}+\frac{5}{4}, \; a=6, \; b=2, \; c=9, \; d=3, \; e=5\) и \(f=4.\)
Да, может.
б) Предположим, что \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{451}{90}.\)
Мы сложили три дроби и получили дробь со знаменателем 90.
Заметим, что \(90=9\cdot 2\cdot 5.\)
Значит, у одной из дробей знаменатель был равен 5, у другой — кратный двум, то есть равен 2, 4 или 6, а у третьей равен 9.
Действительно, на число 90 делится наименьшее общее кратное чисел 2, 5, 9; 4, 5, 9 и 6, 5, 9, принадлежащих исходному набору чисел. Рассмотрим три этих варианта.
1) Пусть \(b=2, \; d=5, \; f=9,\) тогда
\(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{2}+\frac{c}{5}+\frac{e}{9}< \frac{6}{2}+\frac{6}{5}+\frac{6}{9}=\frac{6\cdot \left(45+18+10\right)}{90}=\frac{73}{15}< 5< \frac{451}{90}.\)
2) Пусть \(b=4, \; d=5, \; f=9,\) тогда
\(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{4}+\frac{c}{5}+\frac{e}{9}< \frac{6}{4}+\frac{6}{5}+\frac{6}{9}=\frac{6\cdot \left(45+36+20\right)}{180}=\frac{101}{30}< 4< \frac{451}{90}.\)
3) Пусть \(b=6, \; d=5,\; f=9,\) тогда
\(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{6}+\frac{c}{5}+\frac{e}{9}< \frac{4}{6}+\frac{4}{5}+\frac{4}{9}=\frac{4\cdot \left(15+18+10\right)}{90}=\frac{86}{45}< 2< \frac{451}{90}.\)
Значит, мы не можем получить \(\displaystyle \frac{451}{90}.\)
Нет, не может.
в) Найдём наименьшее значение суммы \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}.\) Выясним, какими могут быть знаменатели этих дробей.
1) Знаменатель не может быть меньше числителя, потому что, поменяв числитель и знаменатель местами, мы уменьшаем данную дробь, а значит, и всю сумму.
2) 9 может быть только знаменателем, и можно предположить, что и оставшиеся знаменатели должны быть максимальными. Действительно, если 6 стоит в числителе, то поменяв её со знаменателем, меньшим её, мы сразу уменьшим две дроби, а значит, и всю сумму. Аналогично для 5.
Итак, наименьшее значение суммы \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\) может быть только вида
\(\displaystyle \frac{a}{5}+\frac{c}{6}+\frac{e}{9}=\frac{18a+15c+10e}{90}=\frac{10\left(a+c+e\right)+5\left(a+c\right)+3a}{90} \ge \frac{10\left(2+3+4\right)+5\left(2+3\right)+3\cdot 2}{90}=\frac{121}{90}.\)
Это оценка. Приведём пример. \(\displaystyle \frac{2}{5}+\frac{3}{6}+\frac{4}{9}=\frac{121}{90}.\)
Ответ:
а) Да, может. б) Нет, не может. в) \(\displaystyle \frac{121}{90}.\)
