Условие задачи
а) Решите уравнение \(\displaystyle \frac{{{log}^2_2 \left({sin x}\right)}+{{log}_2 \left({sin x}\right)}}{2{cos x}-\sqrt{3}}=0.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[\frac{\pi }{2};2\pi \right].\)
Решение
а) \(\displaystyle \frac{{{log}^2_2 \left({sin x}\right)}+{{log}_2 \left({sin x}\right)}}{2{cos x}-\sqrt{3}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
{sin x}>0, \\
2{cos x}-\sqrt{3}\neq 0, \\
{{log}^2_2 \left({sin x}\right)}+{{log}_2 \left({sin x}\right)}=0. \end{array}
\right.\)
Отдельно решим уравнение системы \({{log}^2_2 \left({sin x}\right)}+{{log}_2 \left({sin x}\right)}=0.\)
Замена \({{log}_2 \left({sin x}\right)}=t\) приводит к уравнению \(t^2+t=0 \ \Leftrightarrow \ t\left(t+1\right)=0 \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}
t=0, \\
t=-1. \end{array}
\right.\)
Возвращаемся к старой переменной \(\left[ \begin{array}{c}{{log}_2 \left({sin x}\right)}=0, \\
{{log}_2 \left({sin x}\right)}=-1; \end{array}
\right. \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}
{{log}_2 \left({sin x}\right)}={{log}_2 1}, \\
{{log}_2 \left({sin x}\right)}={{log}_2 \displaystyle\frac{1}{2}} \end{array}
\right.\)
и к системе \(\left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
{sin x}=1, \\
{sin x}=\displaystyle \frac{1}{2}, \end{array}
\right. \\
{sin x}> 0, \\
{cos x}\neq \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{array}
\right.\)
Рисуем тригонометрический круг и отмечаем найденные точки.
Получаем три серии решений \(\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi n, \; n\in Z; \; \displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z\) и \(\displaystyle x=\frac{\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z.\)
Для точек последней серии не выполняется ограничение \(\displaystyle {cos x}\neq \frac{\sqrt{3}}{2},\) поэтому остаются только две первые \(\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi n, \; n\in Z; \; \displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z.\)
б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок \(\displaystyle \left[\frac{\pi }{2}; 2\pi \right].\)
Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(\displaystyle x_1=\frac{\pi }{2}\) и \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi }{6}.\)
Ответ:
а) \(\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n, \; \frac{5\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z.\)
б) \(\displaystyle \frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{6}.\)
