Решение. Задание 13, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Условие задачи

а) Решите уравнение $\displaystyle \frac{{{log}^2_2 \left({sin x}\right)}+{{log}_2 \left({sin x}\right)}}{2{cos x}-\sqrt{3}}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left[\frac{\pi }{2};2\pi \right].$

Решение

а) $\displaystyle \frac{{{log}^2_2 \left({sin x}\right)}+{{log}_2 \left({sin x}\right)}}{2{cos x}-\sqrt{3}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{sin x}\textgreater 0, \\2{cos x}-\sqrt{3}\neq 0, \\{{log}^2_2 \left({sin x}\right)}+{{log}_2 \left({sin x}\right)}=0. \end{array}\right.$

Отдельно решим уравнение системы ${{log}^2_2 \left({sin x}\right)}+{{log}_2 \left({sin x}\right)}=0.$

Замена ${{log}_2 \left({sin x}\right)}=t$ приводит к уравнению $t^2+t=0 \ \Leftrightarrow \ t\left(t+1\right)=0 \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}t=0, \\t=-1. \end{array}\right.$

Возвращаемся к старой переменной $\left[ \begin{array}{c}{{log}_2 \left({sin x}\right)}=0, \\{{log}_2 \left({sin x}\right)}=-1 \end{array}\right. \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}{{log}_2 \left({sin x}\right)}={{log}_2 1}, \\{{log}_2 \left({sin x}\right)}={{log}_2 \frac{1}{2}} \end{array}\right.$

и к системе $\left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}{sin x}=1, \\{sin x}=\frac{1}{2}, \end{array}\right. \\{sin x}\textgreater 0, \\{cos x}\neq \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{array}\right.$

Рисуем тригонометрический круг и отмечаем найденные точки.

Получаем три серии решений $\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi n, \; n\in Z;$ $\displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z$ и $\displaystyle x=\frac{\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z.$

Для точек последней серии не выполняется ограничение $\displaystyle {cos x}\neq \frac{\sqrt{3}}{2},$ поэтому остаются только две первые $\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z;$ $\displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in Z.$