previous arrow
next arrow
Slider

Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

13. а) Решите уравнение \displaystyle \frac{{{log}^2_2 \left({sin x}\right)}+{{log}_2 \left({sin x}\right)}}{2{cos x}-\sqrt{3}}=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left[\frac{\pi }{2};2\pi \right].

Посмотреть ответ Посмотреть решение

14. В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость \alpha , параллельная ребру MC.

а) Докажите, что плоскость \alpha параллельна ребру MD.

б) Найдите угол между плоскостью \alpha и прямой AC.

Посмотреть ответ Посмотреть решение

15. Решите неравенство \displaystyle \frac{x^2-3x-2}{x^2-3x+2}+\frac{x^2-3x+16}{x^2-3x}\geq 0.

Посмотреть ответ Посмотреть решение

16. На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов.

б) Найдите площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB =10.

Посмотреть ответ Посмотреть решение

17. В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.

Посмотреть ответ Посмотреть решение

18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \displaystyle 4\left(ax-x^2\right)+\frac{1}{ax-x^2}+4=0 имеет ровно 2 различных корня на промежутке \left[-1;1\right).

Посмотреть ответ Посмотреть решение

19. Все члены возрастающих арифметических прогрессий a_1, \;a_2, ... и b_1, \;b_2, ... являются натуральными числами.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2.

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых a_1b_1+2a_4b_4=3a_2b_2?

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение a_3b_3, если a_1b_1+2a_4b_4\leq 300?

Посмотреть ответ Посмотреть решение

19. (Другой вариант Запад). Все члены возрастающих арифметических прогрессий a_1,a_2,... и b_1,b_2,... являются натуральными числами.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых a_1b_1+2a_3b_3=4a_2b_2.

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых 2a_1b_1+a_4b_4=3a_2b_2?

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение a_2b_2, если 2a_1b_1+a_4b_4\leq 210?

Посмотреть ответ Посмотреть решение