13. а) Решите уравнение: \(\displaystyle \frac{{{log}^2_2 \left({sin x}\right)}+{{log}_2 \left({sin x}\right)}}{2{cos x}-\sqrt{3}}=0.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[\frac{\pi }{2};2\pi \right].\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
14. В основании правильной четырёхугольной пирамиды \(MABCD\) лежит квадрат \(ABCD\). Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер \(MA\) и \(MB\) проведена плоскость \(\alpha ,\) параллельная ребру \(MC\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha \) параллельна ребру \(MD\).
б) Найдите угол между плоскостью \(\alpha \) и прямой \(AC\).
Посмотреть ответ Посмотреть решение
15. Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{x^2-3x-2}{x^2-3x+2}+\frac{x^2-3x+16}{x^2-3x}\geq 0.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
16. На сторонах \(AC\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) вне его построены квадраты \(ACDE\) и \(CBFG\). Точка \(M\) — середина стороны \(AB\).
а) Докажите, что точка \(M\) равноудалена от центров квадратов.
б) Найдите площадь треугольника \(DMG\), если \(AC = 6, \; BC = 8, \; AB =10.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
17. В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере \(S\) млн рублей, где \(S\) — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2019 | Июль 2020 | Июль 2021 | Июль 2022 |
| Долг (в млн рублей) | \(S\) | \(0,6S\) | \(0,25S\) | \(0\) |
Найдите наибольшее значение \(S\), при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
18. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(\displaystyle 4\left(ax-x^2\right)+\frac{1}{ax-x^2}+4=0\) имеет ровно 2 различных корня на промежутке \(\left[-1;1\right).\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
19. Все члены возрастающих арифметических прогрессий \(a_1, \;a_2, ...\) и \(b_1, \;b_2, ...\) являются натуральными числами.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых \(a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2.\)
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых \(a_1b_1+2a_4b_4=3a_2b_2?\)
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение \(a_3b_3,\) если \(a_1b_1+2a_4b_4\leq 300?\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
19. (Другой вариант Запад). Все члены возрастающих арифметических прогрессий \(a_1, \; a_2,...\) и \(b_1, \; b_2,...\) являются натуральными числами.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых \(a_1b_1+2a_3b_3=4a_2b_2.\)
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых \(2a_1b_1+a_4b_4=3a_2b_2\)?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение \(a_2b_2,\) если \(2a_1b_1+a_4b_4\leq 210?\)
