Условие задачи
В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере \(S\) млн рублей, где \(S\) — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2019 | Июль 2020 | Июль 2021 | Июль 2022 |
| Долг (в млн рублей) | \(S\) | \(0,6S\) | \(0,25S\) | \(0\) |
Найдите наибольшее значение \(S\), при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.
Решение
\(S\) — целое число. Будем вести расчёты в млн. рублей. Введём \(\displaystyle k=1+\frac{30}{100}=1,3\) — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов. Долг уменьшается согласно таблице в течение 3 лет.
Рисуем схему погашения кредита.
Обозначим ежегодные выплаты \(z_1, \; z_2,\; z_3\) и выпишем их:
\(z_1=kS-0,6S=\left(1,3-0,6\right)S=0,7S;\)
\(z_2=0,6kS-0,25S=\left(0,6\cdot 1,3-0,25\right)S=0,53S;\)
\(z_3=0,25kS=0,325S.\)
Так как \(S\) положительно, то \(0,325S< 0,53S< 0,7S,\) т. е. \(z_1> z_2> z_3,\) поэтому для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы \(z_1< 5,\) т. е. \(\displaystyle 0,7S< 5; \; S< \frac{50}{7}; \; S< 7\frac{1}{7}.\)
Так как \(S\) целое, то наибольшее целое \(S,\) удовлетворяющее условию задачи, равно 7.
Ответ:
7 млн рублей.
