previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 18, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Условие задачи

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \displaystyle 4\left(ax-x^2\right)+\frac{1}{ax-x^2}+4=0 имеет ровно 2 различных корня на промежутке \left[-1;1\right).

Решение

\displaystyle 4\left(ax-x^2\right)+\frac{1}{ax-x^2}+4=0. Замена ax-x^2=t приводит к уравнению

\displaystyle 4t+\frac{1}{t}+4=0 \ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{array}{c}4t^2+4t+1=0, \\t\neq 0 \end{array}\right. \ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{array}{c}{\left(2t+1\right)}^2=0, \\t\neq 0 \end{array}\right. \ \Leftrightarrow \ t=-\frac{1}{2}.

Возвращаемся к старой переменной

\displaystyle ax-x^2=-\frac{1}{2} \ \Leftrightarrow \ 2ax-2x^2+1=0 \ \Leftrightarrow \ 2x^2-2ax-1=0.

D={\left(2a\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=4a^2+8\textgreater 0, значит, уравнение имеет при любом a два различных корня.

Введём функцию f\left(x\right)=2x^2-2ax-1; её графиком является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в двух различных точках, причём, f\left(0\right)=-1.

В этом случае для того, чтобы корни попадали в указанный промежуток, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}f\left(-1\right)\geq 0, \\f\left(1\right)\textgreater 0 \end{array}\right. \ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{array}{c}2{\left(-1\right)}^2-2a\left(-1\right)-1\geq 0, \\2-2a-1\textgreater 0 \end{array}\right. \ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{array}{c}1+2a\geq 0, \\1-2a\textgreater 0 \end{array}\right. \ \Leftrightarrow \ -\frac{1}{2}\leq a\textless \frac{1}{2}.

И это ответ a\in \left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right).

Ответ:

\displaystyle a\in \left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right).