Решение. Задание 19, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Условие задачи

(Другой вариант Запад). Все члены возрастающих арифметических прогрессий $a_1,a_2,...$ и $b_1,b_2,...$ являются натуральными числами.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых $a_1b_1+2a_3b_3=4a_2b_2.$

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $2a_1b_1+a_4b_4=3a_2b_2$ ?

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение $a_2b_2,$ если $2a_1b_1+a_4b_4\leq 210?$

Решение

В прогрессии $\left\{a_n\right\} \; a_n=a_{n-1}+d, \; d\textgreater 0$ и в прогрессии $\left\{b_n\right\} \; b_n=b_{n-1}+e,\; e\textgreater 0;$ выразим все члены через первый и разность:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d,$

$b_n=b_1+\left(n-1\right)e$ для всех $n\geq 2.$

а) $a_2=a_1+d, \; b_2=b_1+e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e.$

Распишем равенство $a_1b_1+2a_3b_3=4a_2b_2:$

$a_1b_1+2\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right)=4\left(a_1+d\right)\left(b_1+e\right),$

$a_1b_1+2a_1b_1+4b_1d+4a_1e+8de=4a_1b_1+4b_1d+4a_1e+4de,$

$a_1b_1-4de=0.$

Пусть $a_1=1, \; b_1=4; \; d=e=1.$

Получаются прогрессии $\left\{a_n\right\} \ a_1=1, \; d=1, \; 1,2,3,4,5,...$

$\left\{b_n\right\} \ b_1=4, \; e=1, \; 4,5,6,7,8,...$

Проверяем равенство $a_1b_1+2a_3b_3=4a_2b_2:$

$1\cdot 4+2\cdot 3\cdot 6=4\cdot 2\cdot 5 \; 40=40.$

$1,2,3,4,5,...$ и $4,5,6,7,8,...$

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $2a_1b_1+a_4b_4=3a_2b_2?$

$a_4=a_1+3d, \; b_4=b_1+3e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e$ и расписываем равенство

$2a_1b_1+\left(a_1+3d\right)\left(b_1+3e\right)=3\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right),$

$2a_1b_1+a_1b_1+3b_1d+3a_1e+9de=3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+12de.$

После приведения подобных имеем $b_1d+a_1e+de=0.$ Но $a_1$ и $b_1$ — натуральные числа, а прогрессии возрастающие, т. е. $d\textgreater 0$ и $e\textgreater 0,$ получили противоречие, значит, таких прогрессий не существует.

Нет, не существуют.

в) $2a_1b_1+a_4b_4\le 210,$ обозначим $M=a_2b_2$ и найдём его наибольшее значение.

Распишем левую часть неравенства аналогично пункту б)

$2a_1b_1+a_1b_1+3b_1d+3a_1e+9de=3a_1b_1+3b_1d+3a_1e+9de,$ тогда

$3a_1b_1+3b_1d+3a_1e+9de\le 210 \left| :3\right.,$ получим $a_1b_1+b_1d+a_1e+3de\leq 70.$

Пусть $N=a_1b_1+b_1d+a_1e+3de,$ а

$M=a_2b_2=\left(a_1+d\right)\left(b_1+e\right)=a_1b_1+b_1d+a_1e+de.$

$N\leq 70, \; M=N-2de\leq 70-2de.$

Оценим $de,$ перейдя от строгих неравенств $d\textgreater 0, \; e\textgreater 0$ к нестрогим $d\geq 1, \; e\geq 1.$

$de\geq 1, \; -2de\leq -2, \; M\leq 70-2,M\leq 68.$ Получили оценку для M.

Приведём пример, когда M=68.

$a_2b_2=68=2\cdot 2\cdot 17.$ Пусть $a_2=4, \; b_2=17, \; d=e=1,$ тогда $a_1=a_2-1=3, \; b_1=b_2-1=16.$

Получили прогрессии $\left\{a_n\right\}:$

$3, 4, 5, 6, \dots$ и $\left\{b_n\right\}:$

$16, 17, 18, 19, \dots$

$a_2b_2=4\cdot 17=68$ и $2a_1b_1+a_4b_4=2\cdot 3\cdot 16+6\cdot 19=210\leq 210.$

Ответ:

а) $1,2,3,4,5,...$ и $4,5,6,7,8,...$ б) Нет. в) 68.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 19, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Решение. Задание 19, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Это полезно