previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 19, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Условие задачи

(Другой вариант Запад). Все члены возрастающих арифметических прогрессий a_1,a_2,... и b_1,b_2,... являются натуральными числами.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых a_1b_1+2a_3b_3=4a_2b_2.

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых 2a_1b_1+a_4b_4=3a_2b_2?

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение a_2b_2, если 2a_1b_1+a_4b_4\leq 210?

Решение

В прогрессии \left\{a_n\right\} \; a_n=a_{n-1}+d, \; d\textgreater 0 и в прогрессии \left\{b_n\right\} \; b_n=b_{n-1}+e,\; e\textgreater 0; выразим все члены через первый и разность:

a_n=a_1+\left(n-1\right)d,

b_n=b_1+\left(n-1\right)e для всех n\geq 2.

а) a_2=a_1+d, \; b_2=b_1+e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e.

Распишем равенство a_1b_1+2a_3b_3=4a_2b_2.

a_1b_1+2\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right)=4\left(a_1+d\right)\left(b_1+e\right),

a_1b_1+2a_1b_1+4b_1d+4a_1e+8de=4a_1b_1+4b_1d+4a_1e+4de,

a_1b_1-4de=0.

Пусть a_1=1, \; b_1=4; \; d=e=1.

Получаются прогрессии \left\{a_n\right\} \ a_1=1, \; d=1, \; 1,2,3,4,5,...

\left\{b_n\right\} \ b_1=4, \; e=1, \; 4,5,6,7,8,...

Проверяем равенство a_1b_1+2a_3b_3=4a_2b_2:

1\cdot 4+2\cdot 3\cdot 6=4\cdot 2\cdot 5 \; 40=40.

1,2,3,4,5,... и 4,5,6,7,8,...

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых 2a_1b_1+a_4b_4=3a_2b_2?

a_4=a_1+3d, \; b_4=b_1+3e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e и расписываем равенство

2a_1b_1+\left(a_1+3d\right)\left(b_1+3e\right)=3\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right),

2a_1b_1+a_1b_1+3b_1d+3a_1e+9de=3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+12de.

После приведения подобных имеем b_1d+a_1e+de=0. Но a_1 и b_1 — натуральные числа, а прогрессии возрастающие, т. е. d\textgreater 0 и e\textgreater 0, получили противоречие, значит, таких прогрессий не существует.

Нет, не существуют.

в) 2a_1b_1+a_4b_4\le 210, обозначим M=a_2b_2 и найдём его наибольшее значение.

Распишем левую часть неравенства аналогично пункту б)

2a_1b_1+a_1b_1+3b_1d+3a_1e+9de=3a_1b_1+3b_1d+3a_1e+9de, тогда

3a_1b_1+3b_1d+3a_1e+9de\le 210 \left| :3\right., получим a_1b_1+b_1d+a_1e+3de\leq 70.

Пусть N=a_1b_1+b_1d+a_1e+3de, а

M=a_2b_2=\left(a_1+d\right)\left(b_1+e\right)=a_1b_1+b_1d+a_1e+de.

N\leq 70, \; M=N-2de\leq 70-2de.

Оценим de, перейдя от строгих неравенств d\textgreater 0, \; e\textgreater 0 к нестрогим d\geq 1, \; e\geq 1.

de\geq 1, \; -2de\leq -2, \; M\leq 70-2,M\leq 68. Получили оценку для M.

Приведём пример, когда M=68.

a_2b_2=68=2\cdot 2\cdot 17. Пусть a_2=4, \; b_2=17, \; d=e=1, тогда a_1=a_2-1=3, \; b_1=b_2-1=16.

Получили прогрессии \left\{a_n\right\}:

3, 4, 5, 6, \dots и \left\{b_n\right\}:

16, 17, 18, 19, \dots

a_2b_2=4\cdot 17=68 и 2a_1b_1+a_4b_4=2\cdot 3\cdot 16+6\cdot 19=210\leq 210.

Ответ:

а) 1,2,3,4,5,... и 4,5,6,7,8,... б) нет, в) 68.