previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 15, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Условие задачи

Решите неравенство \displaystyle \frac{x^2-3x-2}{x^2-3x+2}+\frac{x^2-3x+16}{x^2-3x}\geq 0.

Решение

\displaystyle \frac{x^2-3x-2}{x^2-3x+2}+\frac{x^2-3x+16}{x^2-3x}\ge 0. Делаем замену t=x^2-3x,

\displaystyle \frac{t-2}{t+2}+\frac{t+16}{t}\ge 0, приводим к общему знаменателю \displaystyle \frac{2t^2+16t+32}{t\left(t+2\right)}\ge 0 и делим на 2\textgreater 0, получаем неравенство \displaystyle \frac{t^2+8t+16}{t\left(t+2\right)}\geq 0 \ \Leftrightarrow \ \frac{{\left(t+4\right)}^2}{t\left(t+2\right)}\geq 0, которое решаем методом интервалов.

Выписываем решение t\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(0;+\infty \right) \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}t\textless 2, \\t\textgreater 0. \end{array}\right.

Возвращаемся к переменной x:

\left[ \begin{array}{c}x^2-3x\textless -2, \\x^2-3x\textgreater 0 \end{array}\right. \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}x^2-3x+2\textless 0, \\x\left(x-3\right)\textgreater 0 \end{array}\right. \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}\left(x-1\right)\left(x-2\right)\textless 0, \\x\left(x-3\right)\textgreater 0. \end{array}\right.

Изображаем решения неравенств на числовой оси

и объединяем полученные решения x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(1;2\right)\cup \left(3;+\infty \right).

Ответ:

x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(1;2\right)\cup \left(3;+\infty \right).