Условие задачи
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M — середина стороны AB.
а) Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов.
б) Найдите площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB =10.
Решение
a) Покажем, что MN = MP.
Рассмотрим четырехугольник ABGD.
Точки M, P, N - середины его сторон AB, BG и AD. Пусть Q - середина DG.
В выпуклом четырехугольнике середины сторон являются вершинами параллелограмма.
В самом деле, MN - средняя линия
— средняя линия
значит, и
Докажем, что AG = DB.
т.к. AC = DC (стороны квадрата)
отсюда
доказано.
б) Найдем площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB = 10.
Так как (теорема Пифагора)
— прямоугольный.
Построим новый чертеж.
Пусть
Точки M и N удалены от прямой BC на расстояние 3, Q - середина AC.
Точки M и P удалены от прямой AC на расстояние 4; T - середина BC.
Ответ:
б) 49.