Условие задачи
На сторонах \(AC\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) вне его построены квадраты \(ACDE\) и \(CBFG\). Точка \(M\) — середина стороны \(AB\).
а) Докажите, что точка \(M\) равноудалена от центров квадратов.
б) Найдите площадь треугольника \(DMG\), если \(AC = 6, \; BC = 8, \; AB =10.\)
Решение
a) Покажем, что \(MN = MP.\)
Рассмотрим четырехугольник \(ABGD\).
Точки \(M, \; P, \; N\) - середины его сторон \(AB, \; BG\) и \(AD\). Пусть \(Q\) - середина \(DG\).
В выпуклом четырехугольнике середины сторон являются вершинами параллелограмма.
В самом деле, \(MN\) - средняя линия \(\triangle ADB; \; QP\) — средняя линия \(\triangle DBG,\)
значит, \(MN \parallel DB\) и \(QP \parallel DB, \; MN=QP=\displaystyle \frac{1}{2}DB.\)
Докажем, что \(AG = DB.\)
\(\triangle BCD=\triangle GCA,\) т.к. \(AC = DC\) (стороны квадрата),
\(CG = BC, \; \angle BCD = \angle ACG = 90^\circ + \angle ABC \; \Rightarrow AG = BD,\) отсюда
\(\displaystyle \frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}DB, \; MP = MN,\) доказано.
б) Найдем площадь треугольника \(DMG\), если \(AC = 6, \; BC = 8, \; AB = 10.\)
Так как \(AC^2+BC^2=AB^2\) (теорема Пифагора),
\(\triangle ABC\) — прямоугольный.
Построим новый чертеж.
Пусть \(\begin{matrix}
MN\cap AC=Q,\\
MP \cap BC=T.
\end{matrix}\)
Точки \(M\) и \(P\) удалены от прямой \(BC\) на расстояние 3, \(Q\) - середина \(AC\).
Точки \(M\) и \(P\) удалены от прямой \(AC\) на расстояние 4; \(T\) - середина \(BC\).
\(S_{\triangle DMG}=S_{\triangle CDG}+S_{\triangle CDM}+S_{\triangle CGM};\)
\(S_{\triangle CDG}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 6=24;\)
\(S_{\triangle CDM}=\displaystyle \frac{1}{2}CD\cdot TM=(TM\perp CD, \; TM);\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3 =9;\)
\(S_{\triangle DMG}=24+9+16=24+25=49.\)
Ответ:
б) 49.
