previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 16, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Условие задачи

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов.

б) Найдите площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB =10.

Решение

a) Покажем, что MN = MP.

Рассмотрим четырехугольник ABGD.

Точки M, P, N - середины его сторон AB, BG и AD. Пусть Q - середина DG.

В выпуклом четырехугольнике середины сторон являются вершинами параллелограмма.

В самом деле, MN - средняя линия \triangle ADB; QP — средняя линия \triangle DBG,

значит, MN \parallel DB и QP \parallel DB, MN=QP=\frac{1}{2}DB

Докажем, что AG = DB.

\triangle BCD=\triangle GCA, т.к. AC = DC (стороны квадрата)

CG = BC, \angle BCD = \angle ACG = 90^\circ + \angle ABC, \Rightarrow AG = BD, отсюда

\frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}DB

MP = MN, доказано.

б) Найдем площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB = 10.

Так как AC^2+BC^2=AB^2 (теорема Пифагора)

\triangle ABC — прямоугольный.

Построим новый чертеж.

Пусть \begin{matrix}MN\cap AC=Q,\\MP \cap BC=T\end{matrix}

Точки M и N удалены от прямой BC на расстояние 3, Q - середина AC.

Точки M и P удалены от прямой AC на расстояние 4; T - середина BC.

S_{\triangle DMG}=S_{\triangle CDG}+S_{\triangle CDM}+S_{\triangle CGM}

S_{\triangle CDG}=\frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 6=24;

S_{\triangle CDM}=\frac{1}{2}CD\cdot TM=(TM\perp CD, TM);

=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3 =9;

S_{\triangle DMG}=24+9+16=24+25=49.

Ответ:

б) 49.