Решение. Задание 16, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Условие задачи

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов.

б) Найдите площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB =10.

Решение

a) Покажем, что MN = MP.

Рассмотрим четырехугольник ABGD.

Точки M, P, N - середины его сторон AB, BG и AD. Пусть Q - середина DG.

В выпуклом четырехугольнике середины сторон являются вершинами параллелограмма.

В самом деле, MN - средняя линия $\triangle ADB;$ $QP$ — средняя линия $\triangle DBG,$

значит, $MN \parallel DB$ и $QP \parallel DB,$ $MN=QP=\frac{1}{2}DB.$

Докажем, что AG = DB.

$\triangle BCD=\triangle GCA,$ т.к. AC = DC (стороны квадрата),

$CG = BC,$ $\angle BCD = \angle ACG = 90^\circ + \angle ABC,$ $\Rightarrow AG = BD,$ отсюда

$\frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}DB,$

$MP = MN,$ доказано.

б) Найдем площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB = 10.

Так как $AC^2+BC^2=AB^2$ (теорема Пифагора),

$\triangle ABC$ — прямоугольный.

Построим новый чертеж.

Пусть $\begin{matrix}MN\cap AC=Q,\\MP \cap BC=T.\end{matrix}$

Точки M и N удалены от прямой BC на расстояние 3, Q - середина AC.

Точки M и P удалены от прямой AC на расстояние 4; T - середина BC.

$S_{\triangle DMG}=S_{\triangle CDG}+S_{\triangle CDM}+S_{\triangle CGM};$

$S_{\triangle CDG}=\frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 6=24;$

$S_{\triangle CDM}=\frac{1}{2}CD\cdot TM=(TM\perp CD, TM);$

$=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3 =9;$

$S_{\triangle DMG}=24+9+16=24+25=49.$

Ответ:

б) 49.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение. Задание 16, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 13.03.2023

Решение. Задание 16, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Это полезно