Условие задачи
В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость параллельная ребру MC.
а) Докажите, что плоскость параллельна ребру MD.
б) Найдите угол между плоскостью и прямой AC.
Решение
а) Пусть K и L — середины рёбер AM и BM соответственно, тогда KL — средняя линия поэтому
следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости
Пусть тогда по теореме о прямой и перпендикулярной ей плоскости
А так как
и L — середина BM, то
— средняя линия
и N — середина CB.
Если то по теореме о прямой и перпендикулярной ей плоскости
и P — середина AD (ABNP — прямоугольник и NB=AP). В
KP — средняя линия, следовательно,
и по признаку параллельности прямой и плоскости
что и требовалось доказать.
б) По доказанному в пункте а) значит, угол между плоскостью
и прямой AC равен углу между плоскостью
и прямой AC, т. е. углу между прямой AC и её проекцией на плоскость
Точка
найдём ещё проекцию какой-нибудь одной точки прямой AC на плоскость
например, точки O — середины AC, центра квадрата.
Но сначала укажем угол между перпендикулярными плоскостями и
Пусть m — прямая пересечения этих плоскостей, тогда по теореме о прямой и перпендикулярной ей плоскости
Из вершины M проведём высоты MG и MF равных треугольников и
соответственно (
и
— грани правильной пирамиды), MG=MF. Будучи перпендикулярными CD и AB, они будут перпендикулярны и прямой пересечения плоскостей
и
Значит,
а
как углы при основании равнобедренного треугольника
Так как высоты MG и MF равнобедренных треугольников и
являются медианами, то G и F — середины рёбер CD и AB, поэтому CGFB — прямоугольник и
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
В плоскости из точки O опустим перпендикуляр OH на
Следовательно, CH — проекция OC на
Угол OCH — искомый. Найдём его величину.
Пусть сторона квадрата в основании равна a. Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике
так как OH — средняя линия (
).
В прямоугольном треугольнике COH
следовательно,
Ответ:
б)
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 14, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 09.03.2023