Решение. Задание 14, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Условие задачи

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость $\alpha ,$ параллельная ребру MC.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру MD.

б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и прямой AC.

Решение

а) Пусть K и L — середины рёбер AM и BM соответственно, тогда KL — средняя линия $\triangle AMB,$ поэтому $KL||AB;$ следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости $AB||\alpha .$

Пусть $N=\alpha \cap CB,$ тогда по теореме о прямой и перпендикулярной ей плоскости

$\left. \begin{array}{c}CM||\alpha , \\CM\in \left(CMB\right), \\\alpha \cap \left(CMB\right)=LN \end{array}\right\}\Rightarrow LN||CM.$ А так как $LN||CM$ и L — середина BM, то $LN$ — средняя линия $\triangle CMB$ и N — середина CB.

Если $P=\alpha \cap AD,$ то по теореме о прямой и перпендикулярной ей плоскости $PN||AB$ и P — середина AD (ABNP — прямоугольник и NB=AP). В $\triangle AMD$ KP — средняя линия, следовательно, $KP||MD,$ и по признаку параллельности прямой и плоскости $\alpha ||MD,$ что и требовалось доказать.

б) По доказанному в пункте а) $\left. \begin{array}{c}LN||MC \\KP||MD \\LN,KP\in \alpha \end{array}\right\}\Rightarrow \alpha ||\left(MCD\right),$ значит, угол между плоскостью $\alpha$ и прямой AC равен углу между плоскостью $\left(MCD\right)$ и прямой AC, т. е. углу между прямой AC и её проекцией на плоскость $\left(MCD\right).$ Точка $C\in \left(MCD\right),$ найдём ещё проекцию какой-нибудь одной точки прямой AC на плоскость $\left(MCD\right),$ например, точки O — середины AC, центра квадрата.

Но сначала укажем угол между перпендикулярными плоскостями $\left(MCD\right)$ и $\left(MAB\right).$ Пусть m — прямая пересечения этих плоскостей, тогда по теореме о прямой и перпендикулярной ей плоскости
$\left. \begin{array}{c}AB||\left(MCD\right) \\AB\in \left(MAB\right) \\\left(MCD\right)\cap \left(MAB\right)=m \end{array}\right\}\Rightarrow m||AB.$
Из вершины M проведём высоты MG и MF равных треугольников $MCD$ и $MAB$ соответственно ( $MCD$ и $MAB$ — грани правильной пирамиды), MG=MF. Будучи перпендикулярными CD и AB, они будут перпендикулярны и прямой пересечения плоскостей $\left(MCD\right)$ и $\left(MAB\right).$ Значит, $\angle GMF=90^\circ ,$ а $\angle MGF=\angle MFG=45^\circ ,$ как углы при основании равнобедренного треугольника $MGF.$

Так как высоты MG и MF равнобедренных треугольников $MCD$ и $MAB$ являются медианами, то G и F — середины рёбер CD и AB, поэтому CGFB — прямоугольник и $FG\bot CD.$

$\left. \begin{array}{c}FG\bot CD \\MG\bot CD \end{array}\right\}\Rightarrow \left(MFG\right)\bot CD$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

В плоскости $\left(MGF\right)$ из точки O опустим перпендикуляр OH на $MG:$ $\left. \begin{array}{c}OH\in \left(MFG\right) \\\left(MFG\right)\bot CD \end{array}\right\}\Rightarrow OH\bot CD.$

$\left. \begin{array}{c}OH\bot CD \\OH\bot MG \end{array}\right\}\Rightarrow OH\bot \left(MCD\right).$ Следовательно, CH — проекция OC на $\left(MCD\right).$

Угол OCH — искомый. Найдём его величину.

Пусть сторона квадрата в основании равна a. Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике $MGF$ $\displaystyle FG=a, \; MF=\frac{a\sqrt{2}}{2}, \; OF=\frac{MF}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4},$ так как OH — средняя линия ( $\displaystyle OH||MF, \; OF=\frac{GF}{2}$ ).

В прямоугольном треугольнике COH $\displaystyle CO=\frac{a\sqrt{2}}{2}, \; OH=\frac{a\sqrt{2}}{4},$ $\displaystyle {sin \angle }OCH=\frac{a\sqrt{2}}{4}:\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2},$ следовательно, $\angle OCH=30^\circ .$

Ответ:

б) $30^\circ .$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 14, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Решение. Задание 14, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Это полезно