Решение. Задание 19, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Условие задачи

Все члены возрастающих арифметических прогрессий $a_1, \;a_2, ...$ и $b_1, \;b_2, ...$ являются натуральными числами.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых $a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2.$

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1+2a_4b_4=3a_2b_2?$

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение $a_3b_3,$ если $a_1b_1+2a_4b_4\leq 300?$

Решение

В прогрессии $\left\{a_n\right\} \; a_n=a_{n-1}+d,\; d\textgreater 0$ и в прогрессии $\left\{b_n\right\} \; b_n=b_{n-1}+e, \; e\textgreater 0;$ выразим все члены через первый и разность:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d,$

$b_n=b_1+\left(n-1\right)e$ для всех $n\geq 2.$

а) $a_2=a_1+d, \; b_2=b_1+e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e.$

Распишем равенство $a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2.$

$a_1b_1+\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right)=3\left(a_1+d\right)\left(b_1+e\right),$

$a_1b_1+a_1b_1+2b_1d+2a_1e+4de=3a_1b_1+3b_1d+3a_1e+3de,$

$a_1b_1+b_1d+a_1e=de.$

Пусть $a_1=b_1=1; \; 1+d+e=de;$ при $d=2, \; e=3 \; 1+2+3=2\cdot 3.$

Получаются прогрессии $\left\{a_n\right\} \; a_1=1, \; d=2, \; 1,3,5,7,9,...$

$\left\{b_n\right\} \; b_1=1, \; e=3, \; 1,4,7,10,13,...$

Проверяем равенство $a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2:$

$1+5\cdot 7=3\cdot 3\cdot 4 \ 36=36.$

$1,3,5,7,9,...$ и $1,4,7,10,13,...$

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1+2a_4b_4=3a_2b_2$ ?

$a_4=a_1+3d, \; b_4=b_1+3e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e$ и расписываем равенство

$a_1b_1+2\left(a_1+3d\right)\left(b_1+3e\right)=3\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right),$

$a_1b_1+2a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de=3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+12de.$

После приведения подобных имеем $de=0 \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}d=0, \\e=0. \end{array}\right.$

Но в условии сказано, что прогрессии возрастающие, т. е. $d\textgreater 0$ и $e\textgreater 0,$ получили противоречие, значит, таких прогрессий не существует.