Условие задачи
Все члены возрастающих арифметических прогрессий и
являются натуральными числами.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение если
Решение
В прогрессии и в прогрессии
выразим все члены через первый и разность:
для всех
а)
Распишем равенство
Пусть при
Получаются прогрессии
Проверяем равенство
и
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых ?
и расписываем равенство
После приведения подобных имеем
Но в условии сказано, что прогрессии возрастающие, т. е. и
получили противоречие, значит, таких прогрессий не существует.
Нет, не существуют.
в) обозначим
и найдём его наибольшее значение.
Распишем левую часть неравенства аналогично пункту б)
тогда
получим
Пусть а
Оценим перейдя от строгих неравенств
к нестрогим
Получили оценку для M.
Приведём пример, когда M=98.
Пусть
тогда
Получили прогрессии
и
12, 13, 14, 15, \dots
и
Ответ:
а) и
б) нет, в) 98.