Решение. Задание 19, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Условие задачи

Все члены возрастающих арифметических прогрессий $a_1, \;a_2, ...$ и $b_1, \;b_2, ...$ являются натуральными числами.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых $a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2.$

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1+2a_4b_4=3a_2b_2?$

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение $a_3b_3,$ если $a_1b_1+2a_4b_4\leq 300?$

Решение

В прогрессии $\left\{a_n\right\} \; a_n=a_{n-1}+d,\; d\textgreater 0$ и в прогрессии $\left\{b_n\right\} \; b_n=b_{n-1}+e, \; e\textgreater 0;$ выразим все члены через первый и разность:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d,$

$b_n=b_1+\left(n-1\right)e$ для всех $n\geq 2.$

а) $a_2=a_1+d, \; b_2=b_1+e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e.$

Распишем равенство $a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2.$

$a_1b_1+\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right)=3\left(a_1+d\right)\left(b_1+e\right),$

$a_1b_1+a_1b_1+2b_1d+2a_1e+4de=3a_1b_1+3b_1d+3a_1e+3de,$

$a_1b_1+b_1d+a_1e=de.$

Пусть $a_1=b_1=1; \; 1+d+e=de;$ при $d=2, \; e=3 \; 1+2+3=2\cdot 3.$

Получаются прогрессии $\left\{a_n\right\} \; a_1=1, \; d=2, \; 1,3,5,7,9,...$

$\left\{b_n\right\} \; b_1=1, \; e=3, \; 1,4,7,10,13,...$

Проверяем равенство $a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2:$

$1+5\cdot 7=3\cdot 3\cdot 4 \ 36=36.$

$1,3,5,7,9,...$ и $1,4,7,10,13,...$

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1+2a_4b_4=3a_2b_2$ ?

$a_4=a_1+3d, \; b_4=b_1+3e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e$ и расписываем равенство

$a_1b_1+2\left(a_1+3d\right)\left(b_1+3e\right)=3\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right),$

$a_1b_1+2a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de=3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+12de.$

После приведения подобных имеем $de=0 \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}d=0, \\e=0. \end{array}\right.$

Но в условии сказано, что прогрессии возрастающие, т. е. $d\textgreater 0$ и $e\textgreater 0,$ получили противоречие, значит, таких прогрессий не существует.

Нет, не существуют.

в) $a_1b_1+2a_4b_4\le 300,$ обозначим $M=a_3b_3$ и найдём его наибольшее значение.

Распишем левую часть неравенства аналогично пункту б)

$a_1b_1+2a_4b_4=a_1b_1+2a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de=3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de,$ тогда

$3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de\le 300 \left| :3\right.,$ получим $a_1b_1+2b_1d+2a_1e+6de\leq 100.$

Пусть $N=a_1b_1+2b_1d+2a_1e+6de,$ а

$M=a_3b_3=\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right)=a_1b_1+2b_1d+2a_1e+4de.$

$N\leq 100, \; M=N-2de\leq 100-2de.$

Оценим $de,$ перейдя от строгих неравенств $d\textgreater 0, \; e\textgreater 0$ к нестрогим $d\geq 1,\; e\geq 1.$

$de\geq 1, \; -2de\leq -2, \ M\leq 100-2,M\leq 98.$ Получили оценку для M.

Приведём пример, когда M=98.

$a_3b_3=98=2\cdot 7\cdot 7.$ Пусть $a_3=7, \; b_3=2\cdot 7=14, \; d=e=1,$ тогда

$a_3=a_1+2=7, \; a_1=5, \; b_3=b_1+2=14, \; b_1=12.$

Получили прогрессии $\left\{a_n\right\}:$

$5, 6, 7, 8, \dots$ и $\left\{b_n\right\}:$ $12, 13, 14, 15, \dots$

$a_3b_3=7\cdot 14=98$ и $a_1b_1+2a_4b_4=5\cdot 12+2\cdot 8\cdot 15=300\leq 300.$

Ответ:

а) $1,3,5,7,9,...$ и $1,4,7,10,13,...$ б) Нет. в) 98.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 19, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 11.03.2023

Решение. Задание 19, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Это полезно