previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 19, Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Условие задачи

Все члены возрастающих арифметических прогрессий a_1, \;a_2, ... и b_1, \;b_2, ... являются натуральными числами.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2.

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых a_1b_1+2a_4b_4=3a_2b_2?

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение a_3b_3, если a_1b_1+2a_4b_4\leq 300?

Решение

В прогрессии \left\{a_n\right\} \; a_n=a_{n-1}+d,\; d\textgreater 0 и в прогрессии \left\{b_n\right\} \; b_n=b_{n-1}+e, \; e\textgreater 0; выразим все члены через первый и разность:

a_n=a_1+\left(n-1\right)d,

b_n=b_1+\left(n-1\right)e для всех n\geq 2.

а) a_2=a_1+d, \; b_2=b_1+e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e.

Распишем равенство a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2.

a_1b_1+\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right)=3\left(a_1+d\right)\left(b_1+e\right),

a_1b_1+a_1b_1+2b_1d+2a_1e+4de=3a_1b_1+3b_1d+3a_1e+3de,

a_1b_1+b_1d+a_1e=de.

Пусть a_1=b_1=1; \; 1+d+e=de; при d=2, \; e=3 \; 1+2+3=2\cdot 3.

Получаются прогрессии \left\{a_n\right\} \; a_1=1, \; d=2, \; 1,3,5,7,9,...

\left\{b_n\right\} \; b_1=1, \; e=3, \; 1,4,7,10,13,...

Проверяем равенство a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2:

1+5\cdot 7=3\cdot 3\cdot 4 \ 36=36.

1,3,5,7,9,... и 1,4,7,10,13,...

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых a_1b_1+2a_4b_4=3a_2b_2?

a_4=a_1+3d, \; b_4=b_1+3e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e и расписываем равенство

a_1b_1+2\left(a_1+3d\right)\left(b_1+3e\right)=3\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right),

a_1b_1+2a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de=3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+12de.

После приведения подобных имеем de=0 \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}d=0, \\e=0. \end{array}\right.

Но в условии сказано, что прогрессии возрастающие, т. е. d\textgreater 0 и e\textgreater 0, получили противоречие, значит, таких прогрессий не существует.

Нет, не существуют.

в) a_1b_1+2a_4b_4\le 300, обозначим M=a_3b_3 и найдём его наибольшее значение.

Распишем левую часть неравенства аналогично пункту б)

a_1b_1+2a_4b_4=a_1b_1+2a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de=3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de, тогда

3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de\le 300 \left| :3\right., получим a_1b_1+2b_1d+2a_1e+6de\leq 100.

Пусть N=a_1b_1+2b_1d+2a_1e+6de, а

M=a_3b_3=\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right)=a_1b_1+2b_1d+2a_1e+4de.

N\leq 100, \; M=N-2de\leq 100-2de.

Оценим de, перейдя от строгих неравенств d\textgreater 0, \; e\textgreater 0 к нестрогим d\geq 1,\; e\geq 1.

de\geq 1, \; -2de\leq -2, \ M\leq 100-2,M\leq 98. Получили оценку для M.

Приведём пример, когда M=98.

a_3b_3=98=2\cdot 7\cdot 7. Пусть a_3=7, \; b_3=2\cdot 7=14, \; d=e=1, тогда

a_3=a_1+2=7, \; a_1=5, \; b_3=b_1+2=14, \; b_1=12.

Получили прогрессии \left\{a_n\right\}:

5, 6, 7, 8, \dots и \left\{b_n\right\}: 12, 13, 14, 15, \dots

a_3b_3=7\cdot 14=98 и a_1b_1+2a_4b_4=5\cdot 12+2\cdot 8\cdot 15=300\leq 300.

Ответ:

а) 1,3,5,7,9,... и 1,4,7,10,13,... б) нет, в) 98.