Условие задачи
Все члены возрастающих арифметических прогрессий \(a_1, \;a_2, ...\) и \(b_1, \;b_2, ...\) являются натуральными числами.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых \(a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2.\)
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых \(a_1b_1+2a_4b_4=3a_2b_2?\)
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение \(a_3b_3,\) если \(a_1b_1+2a_4b_4\leq 300?\)
Решение
В прогрессии \(\left\{a_n\right\} \; a_n=a_{n-1}+d,\; d> 0\) и в прогрессии \(\left\{b_n\right\} \; b_n=b_{n-1}+e, \; e> 0;\) выразим все члены через первый и разность:
\(a_n=a_1+\left(n-1\right)d,\)
\(b_n=b_1+\left(n-1\right)e\) для всех \(n\geq 2.\)
а) \(a_2=a_1+d, \; b_2=b_1+e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e.\)
Распишем равенство \(a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2.\)
\(a_1b_1+\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right)=3\left(a_1+d\right)\left(b_1+e\right),\)
\(a_1b_1+a_1b_1+2b_1d+2a_1e+4de=3a_1b_1+3b_1d+3a_1e+3de,\)
\(a_1b_1+b_1d+a_1e=de. \)
Пусть \(a_1=b_1=1; \; 1+d+e=de;\) при \(d=2, \; e=3 \; 1+2+3=2\cdot 3.\)
Получаются прогрессии \(\left\{a_n\right\} \; a_1=1, \; d=2, \; 1,3,5,7,9,...\)
\(\left\{b_n\right\} \; b_1=1, \; e=3, \; 1,4,7,10,13,...\)
Проверяем равенство \(a_1b_1+a_3b_3=3a_2b_2:\)
\(1+5\cdot 7=3\cdot 3\cdot 4 \ 36=36.\)
\(1,3,5,7,9,...\) и \(1,4,7,10,13,...\)
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых \(a_1b_1+2a_4b_4=3a_2b_2\)?
\(a_4=a_1+3d, \; b_4=b_1+3e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e\) и расписываем равенство
\(a_1b_1+2\left(a_1+3d\right)\left(b_1+3e\right)=3\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right),\)
\(a_1b_1+2a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de=3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+12de.\)
После приведения подобных имеем \(de=0 \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}
d=0, \\
e=0. \end{array}
\right.\)
Но в условии сказано, что прогрессии возрастающие, т. е. \(d> 0\) и \(e> 0,\) получили противоречие, значит, таких прогрессий не существует.
Нет, не существуют.
в) \(a_1b_1+2a_4b_4\le 300,\) обозначим \(M=a_3b_3\) и найдём его наибольшее значение.
Распишем левую часть неравенства аналогично пункту (б):
\(a_1b_1+2a_4b_4=a_1b_1+2a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de=3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de,\) тогда
\(3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+18de\le 300 \left| :3\right.,\) получим \(a_1b_1+2b_1d+2a_1e+6de\leq 100.\)
Пусть \(N=a_1b_1+2b_1d+2a_1e+6de,\) а
\(M=a_3b_3=\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right)=a_1b_1+2b_1d+2a_1e+4de.\)
\(N\leq 100, \; M=N-2de\leq 100-2de. \)
Оценим \(de,\) перейдя от строгих неравенств \(d> 0, \; e> 0\) к нестрогим \(d\geq 1,\; e\geq 1.\)
\(de\geq 1, \; -2de\leq -2, \ M\leq 100-2,M\leq 98.\) Получили оценку для \(M\).
Приведём пример, когда \(M=98\).
\(a_3b_3=98=2\cdot 7\cdot 7.\) Пусть \(a_3=7, \; b_3=2\cdot 7=14, \; d=e=1,\) тогда
\(a_3=a_1+2=7, \; a_1=5, \; b_3=b_1+2=14, \; b_1=12.\)
Получили прогрессии \(\left\{a_n\right\}:\)
\(5, 6, 7, 8, \dots\) и \(\left\{b_n\right\}:\) \(12, 13, 14, 15, \dots\)
\(a_3b_3=7\cdot 14=98\) и \(a_1b_1+2a_4b_4=5\cdot 12+2\cdot 8\cdot 15=300\leq 300.\)
Ответ:
а) \(1,3,5,7,9,...\) и \(1,4,7,10,13,...\) б) Нет. в) 98.
