Условие задачи
(Другой вариант Запад). Все члены возрастающих арифметических прогрессий \(a_1,a_2,...\) и \(b_1,b_2,...\) являются натуральными числами.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых \(a_1b_1+2a_3b_3=4a_2b_2.\)
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых \(2a_1b_1+a_4b_4=3a_2b_2\)?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение \(a_2b_2,\) если \(2a_1b_1+a_4b_4\leq 210?\)
Решение
В прогрессии \(\left\{a_n\right\} \; a_n=a_{n-1}+d, \; d> 0\) и в прогрессии \(\left\{b_n\right\} \; b_n=b_{n-1}+e,\; e> 0;\) выразим все члены через первый и разность:
\(a_n=a_1+\left(n-1\right)d,\)
\(b_n=b_1+\left(n-1\right)e\) для всех \(n\geq 2.\)
а) \(a_2=a_1+d, \; b_2=b_1+e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e.\)
Распишем равенство \(a_1b_1+2a_3b_3=4a_2b_2:\)
\(a_1b_1+2\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right)=4\left(a_1+d\right)\left(b_1+e\right),\)
\(a_1b_1+2a_1b_1+4b_1d+4a_1e+8de=4a_1b_1+4b_1d+4a_1e+4de,\)
\(a_1b_1-4de=0. \)
Пусть \(a_1=1, \; b_1=4; \; d=e=1.\)
Получаются прогрессии \(\left\{a_n\right\} \ a_1=1, \; d=1, \; 1,2,3,4,5,...\)
\(\left\{b_n\right\} \ b_1=4, \; e=1, \; 4,5,6,7,8,...\)
Проверяем равенство \(a_1b_1+2a_3b_3=4a_2b_2:\)
\(1\cdot 4+2\cdot 3\cdot 6=4\cdot 2\cdot 5 \; 40=40.\)
\(1,2,3,4,5,...\) и \(4,5,6,7,8,...\)
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых \(2a_1b_1+a_4b_4=3a_2b_2?\)
\(a_4=a_1+3d, \; b_4=b_1+3e, \; a_3=a_1+2d, \; b_3=b_1+2e\) и расписываем равенство
\(2a_1b_1+\left(a_1+3d\right)\left(b_1+3e\right)=3\left(a_1+2d\right)\left(b_1+2e\right),\)
\(2a_1b_1+a_1b_1+3b_1d+3a_1e+9de=3a_1b_1+6b_1d+6a_1e+12de.\)
После приведения подобных имеем \(b_1d+a_1e+de=0.\) Но \(a_1\) и \(b_1\) — натуральные числа, а прогрессии возрастающие, т. е. \(d> 0\) и \(e> 0,\) получили противоречие, значит, таких прогрессий не существует.
Нет, не существуют.
в) \(2a_1b_1+a_4b_4\le 210,\) обозначим \(M=a_2b_2\) и найдём его наибольшее значение.
Распишем левую часть неравенства аналогично пункту (б):
\(2a_1b_1+a_1b_1+3b_1d+3a_1e+9de=3a_1b_1+3b_1d+3a_1e+9de,\) тогда
\(3a_1b_1+3b_1d+3a_1e+9de\le 210 \left| :3\right.,\) получим \(a_1b_1+b_1d+a_1e+3de\leq 70.\)
Пусть \(N=a_1b_1+b_1d+a_1e+3de,\) а
\(M=a_2b_2=\left(a_1+d\right)\left(b_1+e\right)=a_1b_1+b_1d+a_1e+de.\)
\(N\leq 70, \; M=N-2de\leq 70-2de. \)
Оценим \(de,\) перейдя от строгих неравенств \(d>0, \; e> 0\) к нестрогим \(d\geq 1, \; e\geq 1.\)
\(de\geq 1, \; -2de\leq -2, \; M\leq 70-2, \; M\leq 68.\) Получили оценку для \(M\).
Приведём пример, когда \(M=68\).
\(a_2b_2=68=2\cdot 2\cdot 17.\) Пусть \(a_2=4, \; b_2=17, \; d=e=1,\) тогда \(a_1=a_2-1=3, \; b_1=b_2-1=16.\)
Получили прогрессии \(\left\{a_n\right\}:\)
\(3, 4, 5, 6, \dots\) и \(\left\{b_n\right\}:\)
\(16, 17, 18, 19, \dots \)
\(a_2b_2=4\cdot 17=68\) и \(2a_1b_1+a_4b_4=2\cdot 3\cdot 16+6\cdot 19=210\leq 210.\)
Ответ:
а) \(1,2,3,4,5,...\) и \(4,5,6,7,8,...\) б) Нет. в) 68.
