Решение. Задание 13, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток

Условие задачи

а) Решите уравнение $\displaystyle {{cos}^2 \frac{x}{2}}-{{sin}^2 \frac{x}{2}}={cos 2}x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left[-\frac{3\pi }{2};0\right].$

Решение

а) $\displaystyle {{cos}^2 \frac{x}{2}}-{{sin}^2 \frac{x}{2}}={cos 2}x.$
По формулам для косинуса двойного угла имеем

${{cos}^2 \frac{x}{2}}-{{sin}^2 \frac{x}{2}}={cos x},$ а ${cos 2}x=2{{cos}^2 x}-1,$ и уравнение принимает вид ${cos x}=2{{cos}^2 x}-1, \ 2{{cos}^2 x}-{cos x}-1=0.$

Замена ${cos x}=t$ приводит к уравнению $\displaystyle 2t^2-t-1=0, \; D=1+8=9, \; t=\frac{1\pm 3}{4}, \; \left[ \begin{array}{c}t=1, \\t=-\frac{1}{2}, \end{array}\right. \ \left[ \begin{array}{c}{cos x}=1, \\{cos x}=-\frac{1}{2}. \end{array}\right. \$

Рисуем тригонометрический круг и отмечаем точки, где ${cos x}=1$ или $\displaystyle {cos x}=-\frac{1}{2}.$

Получаем $\displaystyle x=2\pi n, \; x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n, \; n\in Z.$

б) Отметим на тригонометрическом круге отрезок $\displaystyle \left[-\frac{3\pi }{2};0\right]$ и найденные серии решений.

Видим, что отрезку принадлежат точки $\displaystyle 0;-\frac{2\pi }{3};-\frac{2\pi }{3}-\frac{2\pi }{3}=-\frac{4\pi }{3}.$

Ответ:

а) $\displaystyle x=2\pi n,\; x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,\; n\in Z.$

б) $\displaystyle -\frac{4\pi }{3}; -\frac{2\pi }{3}; 0.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 13, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 14.03.2023

Решение. Задание 13, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток

Это полезно