previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 13, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток

Условие задачи

а) Решите уравнение \displaystyle {{cos}^2 \frac{x}{2}}-{{sin}^2 \frac{x}{2}}={cos 2}x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left[-\frac{3\pi }{2};0\right].

Решение

а) \displaystyle {{cos}^2 \frac{x}{2}}-{{sin}^2 \frac{x}{2}}={cos 2}x.
По формулам для косинуса двойного угла имеем

{{cos}^2 \frac{x}{2}}-{{sin}^2 \frac{x}{2}}={cos x}, а {cos 2}x=2{{cos}^2 x}-1, и уравнение принимает вид {cos x}=2{{cos}^2 x}-1, \ 2{{cos}^2 x}-{cos x}-1=0.

Замена {cos x}=t приводит к уравнению \displaystyle 2t^2-t-1=0, \; D=1+8=9, \; t=\frac{1\pm 3}{4}, \; \left[ \begin{array}{c}t=1, \\t=-\frac{1}{2}, \end{array}\right. \ \left[ \begin{array}{c}{cos x}=1, \\{cos x}=-\frac{1}{2}. \end{array}\right. \

Рисуем тригонометрический круг и отмечаем точки, где {cos x}=1 или \displaystyle {cos x}=-\frac{1}{2}.

Получаем \displaystyle x=2\pi n, \; x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n, \; n\in Z.

б) Отметим на тригонометрическом круге отрезок \displaystyle \left[-\frac{3\pi }{2};0\right] и найденные серии решений.

Видим, что отрезку принадлежат точки \displaystyle 0;-\frac{2\pi }{3};-\frac{2\pi }{3}-\frac{2\pi }{3}=-\frac{4\pi }{3}.

Ответ:

а) \displaystyle x=2\pi n,\; x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,\; n\in Z;

б) \displaystyle -\frac{4\pi }{3}; -\frac{2\pi }{3}; 0.