13. а) Решите уравнение: \(\displaystyle {{cos}^2 \frac{x}{2}}-{{sin}^2 \frac{x}{2}}={cos 2}x.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[-\frac{3\pi }{2};0\right].\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
14. Дан прямой круговой цилиндр высотой 9 и радиусом 2. В одном из оснований проведена хорда \(AB\), равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр \(CD\), перпендикулярный прямой \(AB\). Построено сечение цилиндра плоскостью \(ABNM\), перпендикулярной прямой \(CD\), причём точка \(C\) и центр основания цилиндра, содержащего отрезок \(CD\), лежат по одну сторону от плоскости сечения.
а) Докажите, что диагонали четырёхугольника \(ABNM\) равны.
б) Найдите объём пирамиды \(CABNM\).
Посмотреть ответ Посмотреть решение
15. Решите неравенство: \(\displaystyle {{{log}_2 \left(x+1\right)}}^2\cdot {{log}_{\frac{1}{3}} x^2}-4{{log}_2 \left(x+1\right)}+4{{log}_3 \left(-x\right)}+4\leq 0.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
16. Прямая, проходящая через вершину \(B\) прямоугольника \(ABCD\) перпендикулярно диагонали \(AC\), пересекает сторону \(AD\) в точке \(M\), равноудалённой от вершин \(B\) и \(D\).
а) Докажите, что \(\angle ABM=30^\circ .\)
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой \(CM\), если \(BC = 9.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
17. По вкладу «A» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 12% сумму, имеющуюся на вкладе, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 14% в течение каждого из первых двух лет. Какое наименьшее целое число процентов должен начислить банк по вкладу «Б» за третий год, чтобы вклад «Б» оказался выгоднее вклада «A»?
Посмотреть ответ Посмотреть решение
18. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a\) имеет ровно 3 корня.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
19. У Вовы есть набор из \(n\) грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.
а) Может ли у Вовы быть ровно 6 грузиков, среди которых есть грузик массой 5 г?
б) Может ли у Вовы быть ровно 5 грузиков?
в) Известно, что среди грузиков Вовы есть грузик массой 1 г. Какую наименьшую массу может иметь самый тяжёлый грузик Вовы?
