Условие задачи
По вкладу «A» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 12% сумму, имеющуюся на вкладе, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 14% в течение каждого из первых двух лет. Какое наименьшее целое число процентов должен начислить банк по вкладу «Б» за третий год, чтобы вклад «Б» оказался выгоднее вклада «A»?
Решение
Пусть \(S\) — сумма вклада.
По вкладу «A» каждый год сумма увеличивается в \(\displaystyle 1+\frac{12}{100}=1,12\) раз и через 3 года будет \(\displaystyle S\cdot {\left(1,12\right)}^3={\left(\frac{112}{100}\right)}^3\cdot S.\)
По вкладу «Б» через два года будет \(\displaystyle S\cdot 1,14^2={\left(\frac{114}{100}\right)}^2\cdot S,\) а ещё за год увеличится в \(k\) раз, где \(\displaystyle k=1+\frac{n}{100},\) где \(n\) — число процентов за третий год.
Вклад «Б» будет выгоднее вклада «A», если \(\displaystyle S\cdot {\left(\frac{114}{100}\right)}^2\cdot k> {\left(\frac{112}{100}\right)}^3\cdot S,\) т. е. \(\displaystyle {\left(\frac{114}{100}\right)}^2\cdot k> {\left(\frac{112}{100}\right)}^3,\) так как \(S > 0.\)
\(\displaystyle {\left(\frac{114}{100}\right)}^2\cdot k> {\left(\frac{112}{100}\right)}^3, \; k> \frac{112^3}{100\cdot 114^2}, \; k> \frac{112\cdot 56^2}{100\cdot 57^2}, \)
\(k> \displaystyle \frac{351232}{100\cdot 3249}=\frac{1}{100}\cdot 108,1...\)
\(\displaystyle 1+\frac{n}{100}> 1+0,081..., \; n> 8,1....\)
С учетом того, что \(n\) — целое, получаем \(n=9\).
Ответ:
9.
