previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 14, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток

Условие задачи

Дан прямой круговой цилиндр высотой 9 и радиусом 2. В одном из оснований проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD, перпендикулярный прямой AB. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNM, перпендикулярной прямой CD, причём точка C и центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD, лежат по одну сторону от плоскости сечения.

а) Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNM равны.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

Решение

а) Пусть M и N — проекции соответственно точек A и B на нижнее основание цилиндра, тогда AM и BN — образующие цилиндра, которые параллельны, равны и перпендикулярны плоскости основания, значит, AM\bot MN. Четырёхугольник ABNM, у которого противоположные стороны равны и параллельны, а соседние перпендикулярны, является прямоугольником.

Пусть H — середина MN. В равностороннем треугольнике MON OH — биссектриса и высота. Диаметр, проходящий через точку H, и является заданным диаметром CD, так как

\left. \begin{array}{c}MN||AB \\CD\bot MN \end{array}\right\}\Rightarrow CD\bot AB и \left. \begin{array}{c}CD\bot AB \\CD\bot AM \end{array}\right\}\Rightarrow CD\bot \left(ABM\right).

ABNM — требуемое сечение. Как показано выше, это сечение прямоугольник, а по свойству прямоугольника его диагонали AN и BM равны, что и требовалось доказать.

б) В пункте а) доказано, что CD\bot \left(ABN\right), \; H=CD\cap MN, значит, CH — высота пирамиды. Найдём CH, сделав плоский чертёж. CH=CO+OH, где OH — высота равностороннего треугольника со стороной 2, поэтому \displaystyle CH=2+\frac{2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}.

V_{CABNM}=\frac{1}{3}S_{ABNM}\cdot CH=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 2\left(2+\sqrt{3}\right)=6\left(2+\sqrt{3}\right),

Ответ:

б) 6\left(2+\sqrt{3}\right).