Решение. Задание 14, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток

Условие задачи

Дан прямой круговой цилиндр высотой 9 и радиусом 2. В одном из оснований проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD, перпендикулярный прямой AB. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNM, перпендикулярной прямой CD, причём точка C и центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD, лежат по одну сторону от плоскости сечения.

а) Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNM равны.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

Решение

а) Пусть и — проекции соответственно точек A и B на нижнее основание цилиндра, тогда и — образующие цилиндра, которые параллельны, равны и перпендикулярны плоскости основания, значит, Четырёхугольник у которого противоположные стороны равны и параллельны, а соседние перпендикулярны, является прямоугольником.

Пусть H — середина MN. В равностороннем треугольнике MON OH — биссектриса и высота. Диаметр, проходящий через точку H, и является заданным диаметром CD, так как

и

ABNM — требуемое сечение. Как показано выше, это сечение прямоугольник, а по свойству прямоугольника его диагонали AN и BM равны, что и требовалось доказать.

б) В пункте а) доказано, что значит, CH — высота пирамиды. Найдём CH, сделав плоский чертёж. где OH — высота равностороннего треугольника со стороной 2, поэтому

Ответ:

б)