Условие задачи
Дан прямой круговой цилиндр высотой 9 и радиусом 2. В одном из оснований проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD, перпендикулярный прямой AB. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNM, перпендикулярной прямой CD, причём точка C и центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD, лежат по одну сторону от плоскости сечения.
а) Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNM равны.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Решение
а) Пусть и
— проекции соответственно точек A и B на нижнее основание цилиндра, тогда
и
— образующие цилиндра, которые параллельны, равны и перпендикулярны плоскости основания, значит,
Четырёхугольник
у которого противоположные стороны равны и параллельны, а соседние перпендикулярны, является прямоугольником.
Пусть H — середина MN. В равностороннем треугольнике MON OH — биссектриса и высота. Диаметр, проходящий через точку H, и является заданным диаметром CD, так как
и
ABNM — требуемое сечение. Как показано выше, это сечение прямоугольник, а по свойству прямоугольника его диагонали AN и BM равны, что и требовалось доказать.
б) В пункте а) доказано, что значит, CH — высота пирамиды. Найдём CH, сделав плоский чертёж.
где OH — высота равностороннего треугольника со стороной 2, поэтому
Ответ:
б)
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 14, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 13.03.2023