previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 16, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток

Условие задачи

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.

а) Докажите, что \angle ABM=30^\circ .

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

Решение

а) \triangle ABH\sim \triangle ACB по двум углам. А так как \triangle ACB=\triangle DBC (по свойству прямоугольника), то \triangle ABH\sim \triangle DBC, поэтому \angle ABH=\angle DBC.

По условию BM=MD, поэтому треугольник BMD — равнобедренный, значит, \angle MBD=\angle MDB.

Кроме того, \angle MDB=\angle DBC, как внутренние накрест лежащие при параллельных сторонах прямоугольника. следовательно, \angle ABM=\angle ABH=\angle MBD=\angle DBC, 3\angle ABM=90^\circ , \; \angle ABM=30^\circ , что и требовалось доказать.

б) Расстояние от точки O — центра прямоугольника до прямой MC можно найти как высоту h треугольника OMC по методу площадей.
\displaystyle S_{\triangle OMC}=\frac{1}{2}S_{\triangle AMC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}S_{ABCD}=\frac{1}{12}S_{ABCD}=\frac{1}{12}\cdot AD\cdot AB.

AD=BC=9.

В прямоугольном треугольнике ABM катет AM лежит против угла в 30^\circ и значит, BM=2AM, а BM=DM=2AM и AD=3AM=9, т. е. AM=3, \; BM=6.

По теореме Пифагора AB=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}, \; MC=\sqrt{6^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}=3\sqrt{7}.

\displaystyle S_{\triangle OMC}=\frac{1}{12}\cdot AD\cdot AB=\frac{9\cdot 3\sqrt{3}}{12}=\frac{9\sqrt{3}}{4},

S_{\triangle OMC}=\frac{1}{2}\cdot MC\cdot h=\frac{3\sqrt{7}}{2}\cdot h, \; \frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{2}\cdot h, \; h=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.

Ответ:

б) \displaystyle \frac{70\sqrt{7}}{3}.