Решение. Задание 16, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток

Условие задачи

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.

а) Докажите, что $\angle ABM=30^\circ .$

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

Решение

а) $\triangle ABH\sim \triangle ACB$ по двум углам. А так как $\triangle ACB=\triangle DBC$ (по свойству прямоугольника), то $\triangle ABH\sim \triangle DBC,$ поэтому $\angle ABH=\angle DBC.$

По условию $BM=MD,$ поэтому треугольник $BMD$ — равнобедренный, значит, $\angle MBD=\angle MDB.$

Кроме того, $\angle MDB=\angle DBC,$ как внутренние накрест лежащие при параллельных сторонах прямоугольника. следовательно, $\angle ABM=\angle ABH=\angle MBD=\angle DBC,$ $3\angle ABM=90^\circ , \; \angle ABM=30^\circ ,$ что и требовалось доказать.

б) Расстояние от точки O — центра прямоугольника до прямой MC можно найти как высоту h треугольника OMC по методу площадей.
$\displaystyle S_{\triangle OMC}=\frac{1}{2}S_{\triangle AMC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}S_{ABCD}=\frac{1}{12}S_{ABCD}=\frac{1}{12}\cdot AD\cdot AB.$

$AD=BC=9.$

В прямоугольном треугольнике ABM катет AM лежит против угла в $30^\circ$ и значит, $BM=2AM,$ а $BM=DM=2AM$ и $AD=3AM=9,$ т. е. $AM=3, \; BM=6.$

По теореме Пифагора $AB=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}, \; MC=\sqrt{6^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}=3\sqrt{7}.$

$\displaystyle S_{\triangle OMC}=\frac{1}{12}\cdot AD\cdot AB=\frac{9\cdot 3\sqrt{3}}{12}=\frac{9\sqrt{3}}{4},$

$S_{\triangle OMC}=\frac{1}{2}\cdot MC\cdot h=\frac{3\sqrt{7}}{2}\cdot h, \; \frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{2}\cdot h, \; h=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.$

Ответ:

б) $\displaystyle \frac{70\sqrt{7}}{3}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 16, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Решение. Задание 16, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток

Это полезно