previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 18, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток

Условие задачи

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a имеет ровно 3 корня.

Решение

\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a. Разложим выражение под корнем на множители:

\sqrt{x^2(x-2)(x+2)+9a^2}=x(x+2)-3a

Сделаем замену, чтобы упростить уравнение

Пусть t=x(x+2)

t=x(x+2)

z=x(x-2)=x^2-2x

Уравнение примет вид

\sqrt{tz+9a^2}=t-3a\Leftrightarrow

\left\{\begin{matrix}t-3a\geq 0\\tz+9a^2=t^2-6ta+9a^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow

\left\{\begin{matrix}t-3a\geq 0\\tz=t^2-6ta\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}t-3a\geq 0\\t^2-tz-6ta=0\end{matrix}\right.

Сделаем замену 3a = b.

Нам нужно найти все b, при которых система имеет ровно 3 решения.

Решим ее графически в координатах x; b.

Чтобы получить множество решений неравенства b\le x^2+2x, построим параболу b=x^2+2x, разбивающую плоскость на две области. Проверкой убеждаемся, что неравенству удовлетворяют точки, лежащие под параболой. Три уравнения совокупности задают прямые.

Проведём горизонтальные прямые, соответствующие разным значениям b, и найдём точки пересечения их с прямыми x=0, \; x=-2 и b=2x.

При b\textless -4 получаем 3 точки, лежащие под параболой.

При b=-4 получаем только 2 точки, лежащие под параболой.

При -4\textless b\leq -1 получаем снова 3 точки, лежащие под параболой.

При b=0 получаем только 2 точки, лежащие на параболе.

А при b\textgreater 0 точек, лежащие под параболой не больше одной.

Уточним взаимное расположение параболы и прямой b=2x вблизи точки (0; 0). Если прямая является касательной к параболе, то все её точки лежат не выше параболы. Проверяем условия касания:

1) обе линии проходят через точку (0;0);

2) производная b совпадает с угловым коэффициентом прямой b=2x.

Значит, при x = 0 прямая b = 2x является касательной к параболе b=x^2+2x (выполняются условия касания). Поэтому при -4\textless b\textless 0 имеем 3 точки пересечения под параболой, а при b\textgreater 0 всего одну.

Выписываем ответ b\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(-4;0\right). А так как \displaystyle a=\frac{b}{3}, то \displaystyle a\in \left(-\infty ; -\frac{4}{3}\right)\cup \left(-\frac{4}{3}; 0\right).

Ответ:

\displaystyle a\in \left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)\cup \left(-\frac{4}{3};0\right).