Условие задачи
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно 3 корня.
Решение
Разложим выражение под корнем на множители:
Сделаем замену, чтобы упростить уравнение
Пусть
Уравнение примет вид
Сделаем замену 3a = b.
Нам нужно найти все b, при которых система имеет ровно 3 решения.
Решим ее графически в координатах x; b.
Чтобы получить множество решений неравенства построим параболу
разбивающую плоскость на две области. Проверкой убеждаемся, что неравенству удовлетворяют точки, лежащие под параболой. Три уравнения совокупности задают прямые.
Проведём горизонтальные прямые, соответствующие разным значениям b, и найдём точки пересечения их с прямыми и
При получаем 3 точки, лежащие под параболой.
При получаем только 2 точки, лежащие под параболой.
При получаем снова 3 точки, лежащие под параболой.
При получаем только 2 точки, лежащие на параболе.
А при точек, лежащие под параболой не больше одной.
Уточним взаимное расположение параболы и прямой вблизи точки (0; 0). Если прямая является касательной к параболе, то все её точки лежат не выше параболы. Проверяем условия касания:
1) обе линии проходят через точку (0;0);
2) производная совпадает с угловым коэффициентом прямой
Значит, при прямая
является касательной к параболе
(выполняются условия касания). Поэтому при
имеем 3 точки пересечения под параболой, а при
всего одну.
Выписываем ответ А так как
то
Ответ: