Решение. Задание 18, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток

Условие задачи

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a$ имеет ровно 3 корня.

Решение

$\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a.$ Разложим выражение под корнем на множители:

$\sqrt{x^2(x-2)(x+2)+9a^2}=x(x+2)-3a.$

Сделаем замену, чтобы упростить уравнение.

Пусть $t=x(x+2)$ ;

$t=x(x+2)$ ;

$z=x(x-2)=x^2-2x$ .

Уравнение примет вид

$\sqrt{tz+9a^2}=t-3a\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix}t-3a\geq 0\\tz+9a^2=t^2-6ta+9a^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix}t-3a\geq 0\\tz=t^2-6ta\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}t-3a\geq 0\\t^2-tz-6ta=0\end{matrix}\right.$

Сделаем замену 3a = b.

Нам нужно найти все b, при которых система имеет ровно 3 решения.

Решим ее графически в координатах x; b.

Чтобы получить множество решений неравенства $b\le x^2+2x,$ построим параболу $b=x^2+2x,$ разбивающую плоскость на две области. Проверкой убеждаемся, что неравенству удовлетворяют точки, лежащие под параболой. Три уравнения совокупности задают прямые.

Проведём горизонтальные прямые, соответствующие разным значениям b, и найдём точки пересечения их с прямыми $x=0, \; x=-2$ и $b=2x.$

При $b\textless -4$ получаем 3 точки, лежащие под параболой.

При $b=-4$ получаем только 2 точки, лежащие под параболой.

При $-4\textless b\leq -1$ получаем снова 3 точки, лежащие под параболой.

При $b=0$ получаем только 2 точки, лежащие на параболе.

А при $b\textgreater 0$ точек, лежащие под параболой, не больше одной.

Уточним взаимное расположение параболы и прямой $b=2x$ вблизи точки (0; 0). Если прямая является касательной к параболе, то все её точки лежат не выше параболы. Проверяем условия касания:

1) обе линии проходят через точку (0;0);

2) производная $b$ совпадает с угловым коэффициентом прямой $b=2x.$

Значит, при $x = 0$ прямая $b = 2x$ является касательной к параболе $b=x^2+2x$ (выполняются условия касания).

Поэтому при $-4\textless b\textless 0$ имеем 3 точки пересечения под параболой, а при $b\textgreater 0$ всего одну.

Выписываем ответ $b\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(-4;0\right).$ А так как $\displaystyle a=\frac{b}{3},$ то $\displaystyle a\in \left(-\infty ; -\frac{4}{3}\right)\cup \left(-\frac{4}{3}; 0\right).$

Ответ:

$\displaystyle a\in \left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)\cup \left(-\frac{4}{3};0\right).$

Решение. Задание 18, Тренировочная работа 24.01.2019. Вариант Восток

Это полезно