Условие задачи
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \(\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a\) имеет ровно 3 корня.
Решение
\(\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a.\) Разложим выражение под корнем на множители:
\(\sqrt{x^2(x-2)(x+2)+9a^2}=x(x+2)-3a.\)
Сделаем замену, чтобы упростить уравнение.
Пусть \(t=x(x+2)\);
\(t=x(x+2)\);
\(z=x(x-2)=x^2-2x\).
Уравнение примет вид:
\(\sqrt{tz+9a^2}=t-3a\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t-3a\geq 0,\\
tz+9a^2=t^2-6ta+9a^2;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t-3a\geq 0,\\
tz=t^2-6ta;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}
t-3a\geq 0,;\\
t^2-tz-6ta=0
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t-3a\geq 0, \\t(t-z-6a)=0;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t-3a\geq 0, \\\left[\begin{matrix}
t=0,\\t-z=6a;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}+2x-3a\geq 0, \\\left[\begin{matrix}
x(x+2)=0,\\x^{2}+2x-x^{2}+2x=6a;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}+2x-3a\geq 0, \\\left[\begin{matrix}
x=0, \\x=-2,
\\2x=3a.
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\)
Сделаем замену: \(3a = b.\)
\(\left\{\begin{matrix}
x^{2}+2x-b\geq 0, \\\left[\begin{matrix}
x=0, \\x=-2,
\\2x=b;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
b\leq x^{2}+2x, \\\left[\begin{matrix}
x=0, \\x=-2,
\\b=2x.
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\)
Нам нужно найти все \( b\), при которых система имеет ровно 3 решения.
Решим ее графически в координатах \(x; b\).
Чтобы получить множество решений неравенства \(b\le x^2+2x,\) построим параболу \(b=x^2+2x,\) разбивающую плоскость на две области. Проверкой убеждаемся, что неравенству удовлетворяют точки, лежащие под параболой. Три уравнения совокупности задают прямые.
| \(\left\{\begin{matrix}b\leq x^{2}+2x \\\left[\begin{matrix} x=0, \\x=-2, \\b=2x \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\) |
– область под параболой \(b\leq x^{2}+2x,\)
– прямые. |
Проведём горизонтальные прямые, соответствующие разным значениям \(b\), и найдём точки пересечения их с прямыми \(x=0, \; x=-2\) и \(b=2x.\)
При \(b< -4\) получаем 3 точки, лежащие под параболой.
При \(b=-4\) получаем только 2 точки, лежащие под параболой.
При \(-4< b\leq -1\) получаем снова 3 точки, лежащие под параболой.
При \(b=0\) получаем только 2 точки, лежащие на параболе.
А при \(b> 0\) точек, лежащие под параболой, не больше одной.
Уточним взаимное расположение параболы и прямой \(b=2x\) вблизи точки \((0; 0)\). Если прямая является касательной к параболе, то все её точки лежат не выше параболы. Проверяем условия касания:
1) обе линии проходят через точку \((0;0)\);
2) производная \(b'=2x+2, \; b'\left(0\right)=2\) совпадает с угловым коэффициентом прямой \(b=2x.\)
Значит, при \(x = 0\) прямая \(b = 2x\) является касательной к параболе \(b=x^2+2x\) (выполняются условия касания).
Поэтому при \(-4< b< 0\) имеем 3 точки пересечения под параболой, а при \(b> 0\) всего одну.
Выписываем ответ \(b\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(-4;0\right).\) А так как \(\displaystyle a=\frac{b}{3},\) то \(\displaystyle a\in \left(-\infty ; -\frac{4}{3}\right)\cup \left(-\frac{4}{3}; 0\right).\)
Ответ:
\(\displaystyle a\in \left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)\cup \left(-\frac{4}{3};0\right).\)
