previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 13, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Условие задачи

а) Решите уравнение \sqrt{3}tg\left(7\pi -2x\right)=-1.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right].

Решение

а) \sqrt{3}tg\left(7\pi -2x\right)=-1. Тангенс — функция с периодом \pi , поэтому перепишем уравнение в виде \sqrt{3}tg\left(-2x\right)=-1, а с учётом нечётности преобразуем далее \displaystyle -\sqrt{3}tg2x=-1\Leftrightarrow \sqrt{3}tg2x=1\Leftrightarrow tg2x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}. Рисуем на тригонометрическом круге угол, соответствующий такому тангенсу, и выписываем ответ:

\displaystyle 2x=\frac{\pi }{6}+\pi n, \; n\in Z, \; x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2}, \; n\in Z.

б) Отмечаем на тригонометрическом круге отрезок \displaystyle \left[-2\pi ; -\frac{\pi }{2}\right] и найденную серию решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки

(1) \displaystyle -2\pi +\frac{\pi }{12}=-\frac{23\pi }{12}, (2) \displaystyle -\frac{23\pi }{12}+\frac{\pi }{2}=-\frac{17\pi }{12} и (3) \displaystyle -\frac{23\pi }{12}+\pi =-\frac{11\pi }{12}.

Ответ:

а) \displaystyle \frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2}, \; n\in Z; б) \displaystyle -\frac{23\pi }{12}; -\frac{17\pi }{12}; -\frac{11\pi }{12}.