Решение. Задание 13, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Условие задачи

а) Решите уравнение $\sqrt{3}tg\left(7\pi -2x\right)=-1.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right].$

Решение

а) $\sqrt{3}tg\left(7\pi -2x\right)=-1.$ Тангенс — функция с периодом $\pi ,$ поэтому перепишем уравнение в виде $\sqrt{3}tg\left(-2x\right)=-1,$ а с учётом нечётности преобразуем далее $\displaystyle -\sqrt{3}tg2x=-1\Leftrightarrow \sqrt{3}tg2x=1\Leftrightarrow tg2x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$ Рисуем на тригонометрическом круге угол, соответствующий такому тангенсу, и выписываем ответ:

$\displaystyle 2x=\frac{\pi }{6}+\pi n, \; n\in Z, \; x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2}, \; n\in Z.$

б) Отмечаем на тригонометрическом круге отрезок $\displaystyle \left[-2\pi ; -\frac{\pi }{2}\right]$ и найденную серию решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки

(1) $\displaystyle -2\pi +\frac{\pi }{12}=-\frac{23\pi }{12},$ (2) $\displaystyle -\frac{23\pi }{12}+\frac{\pi }{2}=-\frac{17\pi }{12}$ и (3) $\displaystyle -\frac{23\pi }{12}+\pi =-\frac{11\pi }{12}.$

Ответ:

а) $\displaystyle \frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2}, \; n\in Z;$ б) $\displaystyle -\frac{23\pi }{12}; -\frac{17\pi }{12}; -\frac{11\pi }{12}.$

Решение. Задание 13, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Это полезно