Решение. Задание 14, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Условие задачи

Точки P и Q — середины рёбер AD и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно.

а) Докажите, что прямая BQ перпендикулярна прямой $B_1P.$

б) Пусть H — проекция точки Q на прямую $B_1P.$ Найдите PH, если AB=12.

Решение

а) Проведём BQ в плоскости грани $\left(BB_1C_1\right),$ в плоскости $\left(B_1C_1D\right)$ проведём $B_1P.$ Чтобы определить угол между этими прямыми в плоскости правой грани $\left(ADD_1\right)$ построим прямую, параллельную BQ. Для этого соединим точку Q с серединой ребра $DD_1$ точкой R, получим прямую QR, параллельную CD. Через параллельные прямые QR и AB проведём плоскость, которая пересечёт $\left(ADD_1\right)$ по прямой AR. Прямые BQ и AR параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей $\left(BCC_1\right)$ и $\left(ADD_1\right)$ третьей. Пусть $\displaystyle F\in DD_1, \ FD=\frac{1}{4}DD_1=\frac{1}{2}RD.$ PF — средняя линия $\triangle ARD,$ поэтому $FP||AR||QB,$ значит, угол $\varphi$ между прямыми BQ и $B_1P$ — это угол $B_1PF,$ $\varphi =\angle B_1PF.$

Рассмотрим $\triangle B_1FP$ и найдём его стороны, считая ребро куба равным a.

1) $\displaystyle FP=\sqrt{PD^2+FD^2}=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{4}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{4}.$

2)Проведём диагональ $B_1D_1\;$ $B_1D_1=a\sqrt{2}$ и из прямоугольного $\triangle B_1D_1F$ найдём $\displaystyle D_1F=\frac{3}{4}a, \ B_1F=\sqrt{2a^2+\frac{9}{16}a^2}=\frac{a\sqrt{41}}{4}.$

3) $\triangle B_1AP$ — прямоугольный, так как $AD\bot \left(ABB_1\right),$ значит, $AD\bot AB_1, \;$ $B_1P$ — гипотенуза, $\displaystyle B_1P=\sqrt{AP^2+AB^2_1}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+2a^2}=\frac{3}{2}a.$

Итак, $\displaystyle FP^2=\frac{5a^2}{16}, \; B_1P^2=\frac{9a^2}{4}=\frac{36a^2}{16}, \;$

$B_1F^2=\frac{41a^2}{16};\; B_1F^2=FP^2+B_1P^2.$

По теореме, обратной к теореме Пифагора, получаем, что $\triangle B_1FP$ — прямоугольный, $\angle B_1PF=90^\circ ,$ следовательно, прямая BQ перпендикулярна прямой $B_1P,$ что и требовалось доказать.

б) Пусть точка $H\in B_1P$ и $QH\bot B_1P,$

$\left. \begin{array}{c}QH\bot B_1P \\BQ\bot B_1P \end{array}\right\}\Rightarrow B_1P\bot \left(BQH\right)$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, тогда $\left. \begin{array}{c}B_1P\bot \left(BQH\right) \\BH\in \left(BQH\right) \end{array}\right\}\Rightarrow BH\bot B_1P.$ Следовательно, положение точки H можно определить из прямоугольного треугольника $BB_1P,$ проведя в нём высоту на сторону $B_1P.$

Делаем плоский чертёж.

Так как ребро куба равно 12, то $\displaystyle BB_1=12,\; B_1P=\frac{3}{2}\cdot 12=18,$ а $BP$ находим из прямоугольного треугольника $ABP$ по теореме Пифагора $BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}.$ По методу площадей для прямоугольного $\triangle BB_1P$ $B_1P\cdot BH=BB_1\cdot BP,$ откуда $\displaystyle BH=\frac{12\cdot 6\sqrt{5}}{18}=4\sqrt{5}.$

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит его на два подобных треугольника $BB_1H$ и $PBH,$ откуда можно найти PH. А можно сразу из прямоугольного треугольника $PBH$ найти катет

$PH=\sqrt{PB^2-BH^2}=\sqrt{36\cdot 5-14\cdot 5}=\sqrt{20\cdot 5}=10.$

Ответ:

б) 10.

Замечание. Три точки в пространстве задают плоскость, поэтому мы можем сразу в треугольнике $QB_1P$ найти все стороны $\displaystyle B_1P=\frac{3}{2}\cdot 12=18,$

$QB_1=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5},$

$QP^2=QC^2+CP^2=QC^2+CD^2+DP^2=36\cdot 6,\; QP=6\sqrt{6}.$

Затем в треугольнике $QB_1P$ проведём высоту $QH,$ обозначим отрезок $HP=x$ и, приравнивая катет $QH$ в треугольниках $QB_1H$ и $QPH,$ найти x.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 14, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 13.03.2023

Решение. Задание 14, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Это полезно