previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 14, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Условие задачи

Точки P и Q — середины рёбер AD и CC_1 куба ABCDA_1B_1C_1D_1 соответственно.

а) Докажите, что прямая BQ перпендикулярна прямой B_1P.

б) Пусть H — проекция точки Q на прямую B_1P. Найдите PH, если AB=12.

Решение

а) Проведём BQ в плоскости грани \left(BB_1C_1\right), в плоскости \left(B_1C_1D\right) проведём B_1P. Чтобы определить угол между этими прямыми в плоскости правой грани \left(ADD_1\right) построим прямую, параллельную BQ. Для этого соединим точку Q с серединой ребра DD_1 точкой R, получим прямую QR, параллельную CD. Через параллельные прямые QR и AB проведём плоскость, которая пересечёт \left(ADD_1\right) по прямой AR. Прямые BQ и AR параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей \left(BCC_1\right) и \left(ADD_1\right) третьей. Пусть \displaystyle F\in DD_1, \ FD=\frac{1}{4}DD_1=\frac{1}{2}RD. PF — средняя линия \triangle ARD, поэтому FP||AR||QB, значит, угол \varphi между прямыми BQ и B_1P — это угол B_1PF, \varphi =\angle B_1PF.

Рассмотрим \triangle B_1FP и найдём его стороны, считая ребро куба равным a.

1)\displaystyle FP=\sqrt{PD^2+FD^2}=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{4}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{4}.

2)Проведём диагональ B_1D_1\; B_1D_1=a\sqrt{2} и из прямоугольного \triangle B_1D_1F найдём \displaystyle D_1F=\frac{3}{4}a, \ B_1F=\sqrt{2a^2+\frac{9}{16}a^2}=\frac{a\sqrt{41}}{4}.

3)\triangle B_1AP — прямоугольный, так как AD\bot \left(ABB_1\right), значит, AD\bot AB_1, \; B_1P — гипотенуза, \displaystyle B_1P=\sqrt{AP^2+AB^2_1}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+2a^2}=\frac{3}{2}a.

Итак, \displaystyle FP^2=\frac{5a^2}{16}, \; B_1P^2=\frac{9a^2}{4}=\frac{36a^2}{16}, \;

B_1F^2=\frac{41a^2}{16};\; B_1F^2=FP^2+B_1P^2.

По теореме, обратной к теореме Пифагора, получаем, что \triangle B_1FP — прямоугольный, \angle B_1PF=90^\circ , следовательно, прямая BQ перпендикулярна прямой B_1P, что и требовалось доказать.

б) Пусть точка H\in B_1P и QH\bot B_1P,

\left. \begin{array}{c}QH\bot B_1P \\BQ\bot B_1P \end{array}\right\}\Rightarrow B_1P\bot \left(BQH\right) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, тогда \left. \begin{array}{c}B_1P\bot \left(BQH\right) \\BH\in \left(BQH\right) \end{array}\right\}\Rightarrow BH\bot B_1P. Следовательно, положение точки H можно определить из прямоугольного треугольника BB_1P, проведя в нём высоту на сторону B_1P.

Делаем плоский чертёж.

Так как ребро куба равно 12, то \displaystyle BB_1=12,\; B_1P=\frac{3}{2}\cdot 12=18, а BP находим из прямоугольного треугольника ABP по теореме Пифагора BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}. По методу площадей для прямоугольного \triangle BB_1P B_1P\cdot BH=BB_1\cdot BP, откуда \displaystyle BH=\frac{12\cdot 6\sqrt{5}}{18}=4\sqrt{5}.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит его на два подобных треугольника BB_1H и PBH, откуда можно найти PH. А можно сразу из прямоугольного треугольника PBH найти катет

PH=\sqrt{PB^2-BH^2}=\sqrt{36\cdot 5-14\cdot 5}=\sqrt{20\cdot 5}=10.

Ответ:

б) 10.

Замечание. Три точки в пространстве задают плоскость, поэтому мы можем сразу в треугольнике QB_1P найти все стороны \displaystyle B_1P=\frac{3}{2}\cdot 12=18,

QB_1=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5},

QP^2=QC^2+CP^2=QC^2+CD^2+DP^2=36\cdot 6,\; QP=6\sqrt{6}.

Затем в треугольнике QB_1P проведём высоту QH, обозначим отрезок HP=x и, приравнивая катет QH в треугольниках QB_1H и QPH, найти x.