Условие задачи
Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{x^4-2x^3+x^2}{x^2+x-2}-\frac{2x^3+x^2+x-1}{x+2}\leq 1.\)
Решение
\(\displaystyle \frac{x^4-2x^3+x^2}{x^2+x-2}-\frac{2x^3+x^2+x-1}{x+2}\leq 1.\)
Рассмотрим первую дробь. В знаменателе квадратный трёхчлен, корни которого легко находятся по теореме Виета \(x^2+x-2=\left(x-1\right)\left(x+2\right).\)
В числителе можно вынести \(x^2,\) а затем выделить полный квадрат \(x^4-2x^3+x^2=x^2\left(x^2-2x+1\right)=x^2{\left(x-1\right)}^2.\)
Получаем \(\displaystyle \frac{x^2{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}-\frac{2x^3+x^2+x-1}{x+2}\leq 1.\)
ОДЗ: \(x\neq -2; \ x\neq 1.\)
При выполнении условия \(x\neq -2; \ x\neq 1\) сократим первую дробь, перенесём «1» влево и преобразуем неравенство к виду
\(\displaystyle \frac{x^3-x^2-2x^3-x^2-x+1-x-2}{x+2}\le 0,\)
\(\displaystyle \left.\frac{-x^3-2x^2-2x-1}{x+2}\leq 0\right|\cdot \left(-1\right),\) получим
\(\displaystyle \frac{x^3+2x^2+2x+1}{x+2}\geq 0.\)
Разложим числитель на множители:
\(x^3+2x^2+2x+1=\left(x^3+x^2\right)+\left(x^2+x\right)+\left(x+1\right)=\)
\(=x^2\left(x+1\right)+x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right).\)
\(\displaystyle \frac{\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)}{x+2}\geq 0.\)
Для квадратного трёхчлена \(x^2+x+1\) дискриминант \(D=1-4< 0,\) поэтому \(x^2+x+1\)
положителен для всех \(x\) и на него можно поделить обе части неравенства:
\(\displaystyle \frac{x+1}{x+2}\geq 0.\)
Решаем это неравенство методом интервалов. Для этого наносим на числовую ось \(OX\) точки \(x=-2; \; x=-1,\) определяем знаки на получившихся интервалах и исключаем точки, не входящие в ОДЗ.
Выписываем ответ: \(x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left[-1;1\right)\cup \left(1;+\infty \right).\)
Ответ:
\(x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left[-1;1\right)\cup \left(1;+\infty \right).\)
