Решение. Задание 15, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Условие задачи

Решите неравенство $\displaystyle \frac{x^4-2x^3+x^2}{x^2+x-2}-\frac{2x^3+x^2+x-1}{x+2}\leq 1.$

Решение

$\displaystyle \frac{x^4-2x^3+x^2}{x^2+x-2}-\frac{2x^3+x^2+x-1}{x+2}\leq 1.$

Рассмотрим первую дробь. В знаменателе квадратный трёхчлен, корни которого легко находятся по теореме Виета $x^2+x-2=\left(x-1\right)\left(x+2\right).$ В числителе можно вынести $x^2,$ а затем выделить полный квадрат $x^4-2x^3+x^2=x^2\left(x^2-2x+1\right)=x^2{\left(x-1\right)}^2.$ Получаем $\displaystyle \frac{x^2{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}-\frac{2x^3+x^2+x-1}{x+2}\leq 1.$

ОДЗ: $x\neq -2; \ x\neq 1.$

При выполнении условия $x\neq -2; \ x\neq 1$ сократим первую дробь, перенесём «1» влево и преобразуем неравенство к виду

$\displaystyle \frac{x^3-x^2-2x^3-x^2-x+1-x-2}{x+2}\le 0,$

$\displaystyle \left.\frac{-x^3-2x^2-2x-1}{x+2}\leq 0\right|\cdot \left(-1\right),$ получим

$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+2x+1}{x+2}\geq 0.$

Разложим числитель на множители:

$x^3+2x^2+2x+1=\left(x^3+x^2\right)+\left(x^2+x\right)+\left(x+1\right)=$

$=x^2\left(x+1\right)+x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right).$

$\displaystyle \frac{\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)}{x+2}\geq 0.$

Для квадратного трёхчлена $x^2+x+1$ дискриминант $D=1-4\textless 0,$ поэтому $x^2+x+1$

положителен для всех x и на него можно поделить обе части неравенства:

$\displaystyle \frac{x+1}{x+2}\geq 0.$

Решаем это неравенство методом интервалов. Для этого наносим на числовую ось Ox точки $x=-2; \; x=-1,$ определяем знаки на получившихся интервалах и исключаем точки, не входящие в ОДЗ.

Выписываем ответ: $x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left[-1;1\right)\cup \left(1;+\infty \right).$

Ответ:

$x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left[-1;1\right)\cup \left(1;+\infty \right).$

Решение. Задание 15, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Это полезно