previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 15, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Условие задачи

Решите неравенство \displaystyle \frac{x^4-2x^3+x^2}{x^2+x-2}-\frac{2x^3+x^2+x-1}{x+2}\leq 1.

Решение

\displaystyle \frac{x^4-2x^3+x^2}{x^2+x-2}-\frac{2x^3+x^2+x-1}{x+2}\leq 1.

Рассмотрим первую дробь. В знаменателе квадратный трёхчлен, корни которого легко находятся по теореме Виета x^2+x-2=\left(x-1\right)\left(x+2\right). В числителе можно вынести x^2, а затем выделить полный квадрат x^4-2x^3+x^2=x^2\left(x^2-2x+1\right)=x^2{\left(x-1\right)}^2. Получаем \displaystyle \frac{x^2{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}-\frac{2x^3+x^2+x-1}{x+2}\leq 1.

ОДЗ: x\neq -2; \ x\neq 1.

При выполнении условия x\neq -2; \ x\neq 1 сократим первую дробь, перенесём «1» влево и преобразуем неравенство к виду

\displaystyle \frac{x^3-x^2-2x^3-x^2-x+1-x-2}{x+2}\le 0,

\displaystyle \left.\frac{-x^3-2x^2-2x-1}{x+2}\leq 0\right|\cdot \left(-1\right), получим

\displaystyle \frac{x^3+2x^2+2x+1}{x+2}\geq 0.

Разложим числитель на множители:

x^3+2x^2+2x+1=\left(x^3+x^2\right)+\left(x^2+x\right)+\left(x+1\right)=

=x^2\left(x+1\right)+x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right).

\displaystyle \frac{\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)}{x+2}\geq 0.

Для квадратного трёхчлена x^2+x+1 дискриминант D=1-4\textless 0, поэтому x^2+x+1

положителен для всех x и на него можно поделить обе части неравенства:

\displaystyle \frac{x+1}{x+2}\geq 0.

Решаем это неравенство методом интервалов. Для этого наносим на числовую ось Ox точки x=-2; \; x=-1, определяем знаки на получившихся интервалах и исключаем точки, не входящие в ОДЗ.

Выписываем ответ: x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left[-1;1\right)\cup \left(1;+\infty \right).

Ответ:

x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left[-1;1\right)\cup \left(1;+\infty \right).