Условие задачи
15 сентября планируется взять кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,26 млн рублей?
Решение
Пусть \(S\) — сумма, которую следует взять в кредит, \(\displaystyle k=1+\frac{p}{100}=1+\frac{4}{100}=1,04\) — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов. Долг равномерно уменьшается в течение 12 месяцев, т. е. через месяц он становится меньше на \(\displaystyle \frac{1}{12}S,\) через 2 — на \(\displaystyle \frac{2}{12}S,\dots ,\) через 11 — на \(\displaystyle \frac{11}{12}S,\) а через 12 месяцев становится равным 0, т. е. кредит будет погашен полностью.
Рисуем схему погашения кредита.
Обозначим ежемесячные выплаты \(z_1,z_2,...,z_{12}\) и найдём их:
\(\displaystyle z_1=Sk-S\cdot \frac{11}{12}=S\left(k-\frac{11}{12}\right),\)
\(\displaystyle z_2=Sk\cdot \frac{11}{12}-S\cdot \frac{10}{12}=S\left(k\cdot \frac{11}{12}-\frac{10}{12}\right),\)
\(\displaystyle z_3=Sk\cdot \frac{10}{12}-S\cdot \frac{9}{12}=S\left(k\cdot \frac{10}{12}-\frac{9}{12}\right),\)
\(\displaystyle z_4=Sk\cdot \frac{9}{12}-S\cdot \frac{8}{12}=S\left(k\cdot \frac{9}{12}-\frac{8}{12}\right),\)
\(\displaystyle z_{12}=Sk\cdot \frac{1}{12}.\)
Сумма \(Z\) всех выплат равна
\(\displaystyle Z=z_1+z_2+z_3+z_4+...+z_{12}=S\left(k-\frac{11}{12}\right)+S\left(k\cdot \frac{11}{12}-\frac{10}{12}\right)+\)
\(\displaystyle +S\left(k\cdot \frac{10}{12}-\frac{9}{12}\right)+S\left(k\cdot \frac{9}{12}-\frac{8}{12}\right)+...+Sk\cdot \frac{1}{12}=\)
\(\displaystyle =S\left(k\left(1+\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+\frac{9}{12}+...+\frac{1}{12}\right)-\left(\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+\frac{9}{12}+...+\frac{1}{12}\right)\right)=\)
\(\displaystyle =S\left(\frac{k}{12}\cdot \frac{1+12}{2}\cdot 12-\frac{1}{12}\cdot \frac{1+11}{2}\cdot 11\right)=S\left(\frac{13k}{2}-\frac{11}{2}\right)=\)
\(\displaystyle =S\left(\frac{13\left(1+\frac{4}{100}\right)}{2}-\frac{11}{2}\right)=1,26S.\)
При преобразованиях мы воспользовались формулой для суммы членов арифметической прогрессии \(\displaystyle S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.\)
По условию сумма всех выплат равна 1,26, если считать в млн рублей, поэтому \(1,26S=1,26,\) откуда \(S=1\) млн рублей.
Выполняя эти преобразования в общем виде (вместо 12 месяцев взяв n платёжных периодов), мы получили бы выражение для \(Z\) в виде \(Z=S+\Pi ,\) где \(\Pi\) — величина переплаты \(\displaystyle \Pi =\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}\cdot S.\)
Ответ:
1 000 000 рублей.
