previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 17, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Условие задачи

15 сентября планируется взять кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,26 млн рублей?

Решение

Пусть S — сумма, которую следует взять в кредит, \displaystyle k=1+\frac{p}{100}=1+\frac{4}{100}=1,04 — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов. Долг равномерно уменьшается в течение 12 месяцев, т. е. через месяц он становится меньше на \displaystyle \frac{1}{12}S, через 2 — на \displaystyle \frac{2}{12}S,\dots , через 11 — на \displaystyle \frac{11}{12}S, а через 12 месяцев становится равным 0, т. е. кредит будет погашен полностью.

Рисуем схему погашения кредита.

Обозначим ежемесячные выплаты z_1,z_2,...,z_{12} и найдём их:

\displaystyle z_1=Sk-S\cdot \frac{11}{12}=S\left(k-\frac{11}{12}\right),

\displaystyle z_2=Sk\cdot \frac{11}{12}-S\cdot \frac{10}{12}=S\left(k\cdot \frac{11}{12}-\frac{10}{12}\right),

\displaystyle z_3=Sk\cdot \frac{10}{12}-S\cdot \frac{9}{12}=S\left(k\cdot \frac{10}{12}-\frac{9}{12}\right),

\displaystyle z_4=Sk\cdot \frac{9}{12}-S\cdot \frac{8}{12}=S\left(k\cdot \frac{9}{12}-\frac{8}{12}\right),

\displaystyle z_{12}=Sk\cdot \frac{1}{12}

Сумма Z всех выплат равна

\displaystyle Z=z_1+z_2+z_3+z_4+...+z_{12}=S\left(k-\frac{11}{12}\right)+S\left(k\cdot \frac{11}{12}-\frac{10}{12}\right)+

\displaystyle +S\left(k\cdot \frac{10}{12}-\frac{9}{12}\right)+S\left(k\cdot \frac{9}{12}-\frac{8}{12}\right)+...+Sk\cdot \frac{1}{12}=

\displaystyle =S\left(k\left(1+\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+\frac{9}{12}+...+\frac{1}{12}\right)-\left(\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+\frac{9}{12}+...+\frac{1}{12}\right)\right)=

\displaystyle =S\left(\frac{k}{12}\cdot \frac{1+12}{2}\cdot 12-\frac{1}{12}\cdot \frac{1+11}{2}\cdot 11\right)=S\left(\frac{13k}{2}-\frac{11}{2}\right)=

\displaystyle =S\left(\frac{13\left(1+\frac{4}{100}\right)}{2}-\frac{11}{2}\right)=1,26S.

При преобразованиях мы воспользовались формулой для суммы членов арифметической прогрессии \displaystyle S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.

По условию сумма всех выплат равна 1,26, если считать в млн рублей, поэтому 1,26S=1,26, откуда S=1 млн рублей.

Выполняя эти преобразования в общем виде (вместо 12 месяцев взяв n платёжных периодов), мы получили бы выражение для Z в виде Z=S+\Pi , где \Pi — величина переплаты \displaystyle \Pi =\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}\cdot S.

Ответ:

1 000 000 рублей.