Решение. Задание 18, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Условие задачи

Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции

$\displaystyle y=\frac{5a+150x-10ax}{100x^2+20ax+a^2+25}$ содержит отрезок $\left[0;1\right].$

Решение

$\displaystyle y=\frac{5a+150x-10ax}{100x^2+20ax+a^2+25}.$

Рассмотрим знаменатель $100x^2+20ax+a^2+25={\left(10x+a\right)}^2+25\ge 25\textgreater 0.$ Так как знаменатель никогда не обращается в 0, то функция $y\left(x\right)$ является непрерывной на всей числовой оси. Но непрерывная функция вместе с любыми своими значениями А и B содержит и весь отрезок $\left[A;B\right].$ Следовательно, если 0 и 1 получаются при некоторых значениях x, то обязательно найдутся такие x, при которых будут получаться любые значения из $\left[0;1\right].$

Итак, для того чтобы множество значений функции $\displaystyle y=\frac{5a+150x-10ax}{100x^2+20ax+a^2+25}$ содержало отрезок $\left[0;1\right],$ необходимо и достаточно, чтобы нашлись такие значения параметра a, при которых одновременно будут иметь решения уравнения

$\displaystyle \frac{5a+150x-10ax}{{\left(10x+a\right)}^2+25}=0 \; \; (1)$

и $\displaystyle \frac{5a+150x-10ax}{{\left(10x+a\right)}^2+25}=1 \; \;(2).$

Первое уравнение при положительном знаменателе равносильно линейному уравнению $\left.5a+150x-10ax=0\right| :5 \Leftrightarrow \left(2a-30\right)x=a,$ которое при $a=15$ не имеет решений, а при остальных a имеет единственный корень $\displaystyle x=\frac{a}{2a-30}.$

Второе уравнение при положительном знаменателе равносильно квадратному уравнению

$100x^2+20ax+a^2+25=5a+150x-10ax$ или $100x^2+\left(30a-150\right)x+a^2-5a+25=0$ и будет иметь решения при неотрицательном дискриминанте.

$D={\left(30a-150\right)}^2-4\cdot \left(a^2-5a+25\right)=500\cdot \left(a^2-14a+25\right).$

Условие $D\ge 0$ равносильно неравенству $a^2-14a+25\geq 0.$

Находим корни квадратного трёхчлена

$\displaystyle a^2-14a+25=0, \; D=14^2-4\cdot 25=96, \; a=\frac{14\pm 4\sqrt{6}}{2}=7\pm 2\sqrt{6}$ и показываем решение.

Остаётся выяснить, где на числовой оси находится число 15. Очевидно, что $7-2\sqrt{6}\textless 15,$ поэтому сравним 15 со вторым корнем

$7+2\sqrt{6}\vee 15, \; 2\sqrt{6}\vee 8, \; \sqrt{6}\vee 4, \; \sqrt{6}\textless 4\Rightarrow 7+2\sqrt{6}\textless 15.$

Уравнения (1) и (2) имеют решения при

$a\in \left[-\infty ;7-2\sqrt{6}\right]\cup \left[7+2\sqrt{6};+\infty \right)$ и $a\ne 15,$ и окончательно получаем

$a\in \left(-\infty ;7-2\sqrt{6}\right]\cup \left[7+2\sqrt{6};15\right)\cup \left(15;+\infty \right).$

Ответ:

$a\in \left(-\infty ;7-2\sqrt{6}\right]\cup \left[7+2\sqrt{6};15\right)\cup \left(15;+\infty \right).$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 18, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 13.03.2023

Решение. Задание 18, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Это полезно