previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 18, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Условие задачи

Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции

\displaystyle y=\frac{5a+150x-10ax}{100x^2+20ax+a^2+25} содержит отрезок \left[0;1\right].

Решение

\displaystyle y=\frac{5a+150x-10ax}{100x^2+20ax+a^2+25}.

Рассмотрим знаменатель 100x^2+20ax+a^2+25={\left(10x+a\right)}^2+25\ge 25\textgreater 0. Так как знаменатель никогда не обращается в 0, то функция y\left(x\right) является непрерывной на всей числовой оси. Но непрерывная функция вместе с любыми своими значениями А и B содержит и весь отрезок \left[A;B\right]. Следовательно, если 0 и 1 получаются при некоторых значениях x, то обязательно найдутся такие x, при которых будут получаться любые значения из \left[0;1\right].

Итак, для того чтобы множество значений функции \displaystyle y=\frac{5a+150x-10ax}{100x^2+20ax+a^2+25} содержало отрезок \left[0;1\right], необходимо и достаточно, чтобы нашлись такие значения параметра a, при которых одновременно будут иметь решения уравнения

\displaystyle \frac{5a+150x-10ax}{{\left(10x+a\right)}^2+25}=0 \; \; (1)

и \displaystyle \frac{5a+150x-10ax}{{\left(10x+a\right)}^2+25}=1 \; \;(2).

Первое уравнение при положительном знаменателе равносильно линейному уравнению \left.5a+150x-10ax=0\right| :5 \Leftrightarrow \left(2a-30\right)x=a, которое при a=15 не имеет решений, а при остальных a имеет единственный корень \displaystyle x=\frac{a}{2a-30}.

Второе уравнение при положительном знаменателе равносильно квадратному уравнению

100x^2+20ax+a^2+25=5a+150x-10ax или 100x^2+\left(30a-150\right)x+a^2-5a+25=0 и будет иметь решения при неотрицательном дискриминанте.

D={\left(30a-150\right)}^2-4\cdot \left(a^2-5a+25\right)=500\cdot \left(a^2-14a+25\right).

Условие D\ge 0 равносильно неравенству a^2-14a+25\geq 0.

Находим корни квадратного трёхчлена

\displaystyle a^2-14a+25=0, \; D=14^2-4\cdot 25=96, \; a=\frac{14\pm 4\sqrt{6}}{2}=7\pm 2\sqrt{6} и показываем решение.

Остаётся выяснить, где на числовой оси находится число 15. Очевидно, что 7-2\sqrt{6}\textless 15, поэтому сравним 15 со вторым корнем

7+2\sqrt{6}\vee 15, \; 2\sqrt{6}\vee 8, \; \sqrt{6}\vee 4, \; \sqrt{6}\textless 4\Rightarrow 7+2\sqrt{6}\textless 15.

Уравнения (1) и (2) имеют решения при

a\in \left[-\infty ;7-2\sqrt{6}\right]\cup \left[7+2\sqrt{6};+\infty \right) и a\ne 15, и окончательно получаем

a\in \left(-\infty ;7-2\sqrt{6}\right]\cup \left[7+2\sqrt{6};15\right)\cup \left(15;+\infty \right).

Ответ:

a\in \left(-\infty ;7-2\sqrt{6}\right]\cup \left[7+2\sqrt{6};15\right)\cup \left(15;+\infty \right).