Условие задачи
На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры 3, 4, 5, 6 и 7 (34567, 34576 и т. д.).
а) Есть ли среди них число, которое делится на 55?
б) Есть ли среди них число, которое делится на 505?
в) Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на 11
Решение
а) Пусть среди написанных чисел есть число \(A\), делящееся на 55: \(A\vdots 55 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
A\vdots 5, \\
A\vdots 11. \end{array}
\right.\)
Отсюда по признаку делимости получаем, что последняя цифра числа может быть только «5». Для делимости на 11 суммы цифр, стоящих на чётных и нечётных позициях, должны или совпадать, или отличаться на число, кратное 11. Так как сумма всех цифр \(3+4+5+6+7=25\) — нечётное число, то суммы совпадать не могут, значит, могут только различаться на число, кратное 11.
Пусть \(S\) — меньшая из сумм цифр, а \(S+11k\) — большая, тогда \(2S+11k=25,\) и при \(k=1\) получаем \(S=7,\) что возможно только для цифр «3» и «4». Получаем, например, число 63745.
Да, есть, например, 63745.
б) Предположим, что есть число \(A\), делящееся на 505, \(A\vdots 505 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
A\vdots 5, \\
A\vdots 101. \end{array}
\right.\)
Так как \( A\vdots 101,\) то его можно записать в виде \(A=101\cdot B,\) где \(B\) — некоторое натуральное число. Если \(B\) — двузначное число, то \(A=101\cdot B\le 101\cdot 99=9999\) — четырёхзначное число, значит, \(B\) не может быть двузначным. Пусть \(B=\overline{xy5}\) — трёхзначное число (оно должно оканчиваться на 5, так как произведение должно делиться на 5, а 101 не делится на 5). Получим в случае, когда
1) \(x+5\leq 9\)
,
но здесь две одинаковые цифры;
или
2) \(x+5\geq 10\)
,
а здесь две цифры, отличающиеся на 5, а таких среди 3, 4, 5, 6, и 7 нет.
Значит, и трёхзначного числа \(B\), удовлетворяющего условию, не существует.
Если же \(B\) — четырёхзначное и больше, то \(A=101\cdot B\geq 101\cdot 1000=101000\) становится шестизначным и больше. Следовательно, чисел, делящихся на 5, на доске нет.
Нет.
в) Аналогично случаю (а) имеем, что для делимости на 11 суммы цифр, стоящих на чётных и нечётных позициях, должны или совпадать, или отличаться на число, кратное 11. Так как сумма всех цифр \(3+4+5+6+7=25\) — нечётное число, то суммы совпадать не могут, значит, могут только различаться на число, кратное 11.
Пусть\(S\) — меньшая из сумм цифр, а \(S+11k\) — большая, тогда \(2S+11k=25.\)
1) При \(k=1\) получаем \(S=7,\) что возможно только для цифр «3» и «4».
2) При \(k=2\) получаем \(2S+22=25, \; 2S=3,\) и нет натуральных значений S.
3) При \(k\ge 3\) получаем \(2S=25-11\cdot k\leq 25-33=-8,\) и нет натуральных значений S.
Значит, возможен только первый случай \(S=7.\) Только две цифры «3» и «4 дают в сумме 7, значит, они должны стоять на чётных местах, на нечётных будут стоять 5, 6 и 7. Число будет тем больше, чем большие цифры стоят в старших разрядах. Получаем: на первом месте — 7, на втором (выбираем из 3 и 4) — 4, на третьем — 6, далее — 3 и 5 — 74635.
Ответ:
а) да, есть, например, 63745; б) нет; в) 74635.
