Условие задачи
a) Решите уравнение \(2{\sin 2x}-{\cos x}=\sqrt{3}{\sin x}.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\displaystyle \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].\)
Решение
а) Решим уравнение
\(2{\sin 2x}-{\cos x}=\sqrt{3}{\sin x}.\)
\(\displaystyle {\sin 2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}{\sin x }+\frac{1}{2}{\cos x}.\)
Заметим, что \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi}{6}; \: \: \frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6};\)
Тогда \(\displaystyle {\sin x}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}={\cos \frac{\pi}{6} }; \: \: \frac{1}{2}={\sin \frac{\pi}{6}};\)
Заметим, что \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}={\cos \frac{\pi}{6} }; \: \: \frac{1}{2}={\sin \frac{\pi}{6} };\)
Тогда \(\displaystyle {\sin x}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+{\cos x}\cdot \frac{1}{2}={\sin x}\cdot {\cos \frac{\pi}{6}}+{\cos x}\cdot {\sin \frac{\pi}{6}}={\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}. \)
Мы применим формулу \(\displaystyle {\sin \left(\alpha +\beta \right)}={\sin \alpha {\cos \beta }}+{\cos \alpha {\sin \beta } }.\)
Получим:
\(\displaystyle {\sin 2x}={\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)};\)
\(\displaystyle {\sin 2x}-{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0}.\)
Применим формулу разности синусов:
\(\displaystyle {\sin \alpha }-{\sin \beta }=2{\sin \frac{\alpha -\beta }{2}}{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}} .\)
В нашем случае
\(\displaystyle \frac{\alpha - \beta }{2}=\frac{2x-x-\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{12};\)
\(\displaystyle \frac{\alpha + \beta }{2}=\frac{2x+x+\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{12}.\)
Получим: \(\displaystyle {\sin 2x }-{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=2{\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{12}\right){\cos \left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)}}}.\)
Уравнение примет вид:
\(\displaystyle 2{\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{12}\right){\cos \left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=0}}.\)
Это значит:
\(\left[\begin{matrix}
sin\left(\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{\pi }{12}\right)=0, \\cos\left(\displaystyle \frac{3x}{2}+\frac{\pi }{12}\right)=0;
\end{matrix}\right.\)
\(\left[\begin{matrix}
\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{\pi }{12}=\pi n, \; n\in Z, \\\displaystyle \frac{3x}{2}+\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{2}+\pi k, \; k\in Z;
\end{matrix}\right.\)
\(\left[\begin{matrix}
\displaystyle x= \frac{\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z, \\\displaystyle x= \frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi k }{3}, \; k\in Z;
\end{matrix}\right.\)
б) Рассмотрим серию решений
\(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\: \: n \in Z.\)
Отберем корни на отрезке \(\displaystyle \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].\) с помощью двойного неравенства.
\(\displaystyle -2 \pi \leq \frac{\pi}{6}+2\pi n\leq -\frac{\pi}{2};\)
\(\displaystyle -2 \leq \frac{1}{6}+2n\leq -\frac{1}{2};\)
\(\displaystyle - \frac{13}{6} \leq 2n \leq - \frac{2}{3};\)
\(\displaystyle -1 \frac{1}{12} \leq n- \frac{1}{3}; \: \: n=-1;\)
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{11 \pi}{6}.\)
2) Рассмотрим серию решений \(\displaystyle x=\frac{5 \pi}{18}+\frac{2 \pi k}{3};\) отберем корни на отрезке \(\displaystyle \left [ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right ] \) с помощью двойного неравенства.
\(\displaystyle -2\pi \leq \frac{5 \pi}{18}+\frac{2 \pi k}{3}\leq -\frac{\pi}{2};\)
\(\displaystyle -2\leq \frac{5}{18}+\frac{2 k}{3}\leq -\frac{1}{2};\)
\(\displaystyle -\frac{41}{18}\leq \frac{2k}{3}\leq -\frac{14}{18};\)
\(\displaystyle -\frac{41}{12}\leq k \leq -\frac{14}{12};\)
\(\displaystyle -3 \frac{5}{12}\leq k\leq -1\frac{1}{6}; \; k=-2\) или \(k=-3.\)
Если \(k=-2, \; \displaystyle x_2=\frac{5 \pi}{18}-\frac{4 \pi}{3}=-\frac{19 \pi}{18};\)
если \(k=3, \; \displaystyle x_3=\frac{5 \pi}{18}-2 \pi =-\frac{31 \pi}{18}.\)
Ответ:
\(\displaystyle -\frac{31 \pi}{18}; \: \: -\frac{19 \pi}{18}; \: \: -\frac{11 \pi}{6}.\)
