Тренировочная работа № 3 по математике, 11 класс, Статград. Задачи 13-19

В этой Тренировочной работе есть несколько новых задач. Необычно сложная задача 13 (тригонометрическое уравнение).

Повышенного уровня сложности — задачи 16 (планиметрия) и 19 (числа и их свойства).

Зато задача 14 (стереометрия), 15 (показательное неравенство), 18 (параметры) — очень простые.

В задаче 17 (с экономическим содержанием) математическая модель проста, и основная ее трудность — вычисления.

13.

a) Решите уравнение $2{\sin 2x\ }-{\cos x\ }=\sqrt{3}{\sin x}.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\displaystyle \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].$

14. Основание пирамиды $DABC$ — прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C.$ Высота пирамиды проходит через точку $B.$ Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AD$ и $BC$ соответственно.

а) Докажите, что $MN$ является биссектрисой угла $BMC.$
б) Найдите угол между прямыми $BD$ и $MN$ , если $BD = 6\sqrt{2}$ , $AC=16.$

Посмотреть ответ Посмотреть решение

15. Решите неравенство: $\displaystyle 5^{\frac{x^2-7|x|+10}{x^2 -6x +9}}\leq 1.$

Посмотреть ответ Посмотреть решение

16. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = AC = 10,$ $BC = 12.$

На стороне $AB$ отметили точки $M_1$ и $M_2$ так, что $AM_1 \textless AM_2.$ Через точки $M_1$ и $M_2$ провели прямые, перпендикулярные стороне $AB$ и отсекающие от треугольника $ABC$ пятиугольник, в который можно вписать окружность.

а) Докажите, что $AM_1 : BM_2 = 1:3.$

б) Найдите площадь данного пятиугольника.

Посмотреть ответ Посмотреть решение

17. По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 7 % в первый год и на одинаковое целое число $n$ процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение $n$ , при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Посмотреть ответ Посмотреть решение

18. Найдите все значения $a$ , при которых уравнение

$\left (x^2 -5 +\ln (x-a) \right )^2=(x^2-5)^2+ \ln^2 (x-a)$

имеет единственное решение на отрезке [0; 3].

Посмотреть ответ Посмотреть решение

19. Для любого натурального числа $n (n \geq 1)$ обозначим через $O (n)$ количество нечётных цифр в десятичной записи этого числа.

Например, $O (123) = 2$ , а $O (2048) = 0.$

а) Существует ли такое натуральное число $n$ , что $O (4 \cdot n)=O(n)+2?$

б) Существует ли такое натуральное число $n$ , что $O (5^n +2^{n+1} -2)\textgreater n?$

в) Для какого наименьшего натурального числа $n$ выполнено равенство $O (11 \cdot n)=O(n)+2?$

Посмотреть ответ Посмотреть решение

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренировочная работа № 3 по математике, 11 класс, Статград. Задачи 13-19» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.03.2023

Тренировочная работа № 3 по математике, 11 класс, Статград. Задачи 13-19

Это полезно