В этой Тренировочной работе есть несколько новых задач. Необычно сложная задача 13 (тригонометрическое уравнение).
Повышенного уровня сложности — задачи 16 (планиметрия) и 19 (числа и их свойства).
Зато задача 14 (стереометрия), 15 (показательное неравенство), 18 (параметры) — очень простые.
В задаче 17 (с экономическим содержанием) математическая модель проста, и основная ее трудность — вычисления.
13. a) Решите уравнение \(2{\sin 2x}-{\cos x}=\sqrt{3}{\sin x}.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\displaystyle \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
14. Основание пирамиды \(DABC\) — прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C.\) Высота пирамиды проходит через точку \(B.\) Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AD\) и \(BC\) соответственно.
а) Докажите, что \(MN\) является биссектрисой угла \(BMC.\)
б) Найдите угол между прямыми \(BD\) и \(MN\), если \(BD = 6\sqrt{2}, \; AC=16.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
15. Решите неравенство: \(\displaystyle 5^{\frac{x^2-7|x|+10}{x^2 -6x +9}}\leq 1.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
16. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = AC = 10, \; BC = 12.\) На стороне \(AB\) отметили точки \(M_1\) и \(M_2\) так, что \(AM_1 < AM_2.\) Через точки \(M_1\) и \(M_2\) провели прямые, перпендикулярные стороне \(AB\) и отсекающие от треугольника \(ABC\) пятиугольник, в который можно вписать окружность.
а) Докажите, что \(AM_1 : BM_2 = 1:3.\)
б) Найдите площадь данного пятиугольника.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
17. По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 7 % в первый год и на одинаковое целое число \(n\) процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение \(n\), при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
18. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(\left (x^2 -5 +\ln (x-a) \right )^2=(x^2-5)^2+ \ln^2 (x-a)\) имеет единственное решение на отрезке \([0; 3]\).
Посмотреть ответ Посмотреть решение
19. Для любого натурального числа \(n (n \geq 1)\) обозначим через \(O (n)\) количество нечётных цифр в десятичной записи этого числа. Например, \(O (123) = 2\), а \(O (2048) = 0.\)
а) Существует ли такое натуральное число \(n \), что \(O (4 \cdot n)=O(n)+2?\)
б) Существует ли такое натуральное число \(n \), что \(O (5^n +2^{n+1} -2)> n?\)
в) Для какого наименьшего натурального числа \(n \) выполнено равенство \(O (11 \cdot n)=O(n)+2?\)
