Условие задачи
В треугольнике известно, что
На стороне отметили точки
и
так, что
Через точки
и
провели прямые, перпендикулярные стороне
и отсекающие от треугольника
пятиугольник, в который можно вписать окружность.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь данного пятиугольника.
Решение
а) Окружность вписана в пятиугольник , следовательно, она касается прямых
и
поэтому она вписана также в треугольник
Найдем радиус окружности с помощью формулы площади треугольника: .
Треугольник — равнобедренный,
Пусть
— середина
тогда
— его высота.
Из
из формулы
получим:
.
Обозначим
Пусть — точка касания окружности со стороной
— точка касания с отрезком
.
Четырёхугольник — квадрат, т.к.
тогда
.
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, тогда .
Обозначим
по двум углам;
если
то
С другой стороны,
Имеем систему уравнений:
Сложив уравнения, получим:
Пусть — точка касания окружности отрезком
тогда
— квадрат, т.к.
Так как получим:
отсюда
и
б) Найдем площадь пятиугольника
Осталось найти .
Найдем
Тогда
Ответ:
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 16, Тренировочная работа № 3» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 14.09.2023