Решение. Задание 16, Тренировочная работа № 3

Условие задачи

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = AC = 10,$ $BC = 12.$

На стороне $AB$ отметили точки $M_1$ и $M_2$ так, что $AM_1 \textless AM_2.$ Через точки $M_1$ и $M_2$ провели прямые, перпендикулярные стороне $AB$ и отсекающие от треугольника $ABC$ пятиугольник, в который можно вписать окружность.

а) Докажите, что $AM_1 : BM_2 = 1:3.$

б) Найдите площадь данного пятиугольника.

Решение

а) Окружность вписана в пятиугольник $M_1M_2FCE$ , следовательно, она касается прямых $AB,$ $AC$ и $BC,$ поэтому она вписана также в треугольник $ABC.$

Найдем радиус окружности с помощью формулы площади треугольника: $S = pr$ .

Треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB = AC.$ Пусть $H$ — середина $BC,$ тогда $AH$ — его высота.

Из $\triangle ABH:$ $AH=\sqrt{10^2 -6^2}=8;$

$P_{\triangle ABC}=AB+AC+BC=10+10+12=32;$

$\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC \cdot AH=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8=48,$ из формулы

$\displaystyle S=\frac{P_{\triangle ABC}}{2} \cdot r=p \cdot r$ получим: $r=48:16=3$ .

Обозначим $AM_1=a,\: \: BM_2=b.$

Пусть $\alpha$ — точка касания окружности со стороной $AB,$ $Q$ — точка касания с отрезком $M_2F$ .

Четырёхугольник $LM_2QO$ — квадрат, т.к. $\angle M_2= \angle L=\angle Q=90^{\circ}, DL=OQ;$

$MQ=OL=r=3;$ тогда $M_2L=r=3$ .

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, тогда $FQ=FH$ .

Обозначим $FQ = FH = x.$

$\triangle FBM_2 \sim \triangle ABH$ по двум углам;

$\angle M_2FB=\angle BAH = \alpha ;$

$\displaystyle tg \, \alpha =\frac{BH}{AH}=\frac{3}{4};$ если $BM_2=b,$ то

$\displaystyle M_2F=\frac{4}{3}B,\: \: BF=\frac{5}{3}b.$

С другой стороны, $\displaystyle BF=BH-FH=6-x=\frac{5b}{3};$

$\displaystyle M_2F=M_2Q+FQ=3+x=\frac{4b}{3}.$

Имеем систему уравнений:

$\displaystyle \left\{\begin{matrix}6-x=\frac{5b}{3}\\3+x=\frac{4b}{3}\end{matrix}\right. ;$

$\left\{\begin{matrix}18-3x=5b\\9+3x=4b\end{matrix}\right. .$

Сложив уравнения, получим:

$27=9b; \: \: b=3.$

Пусть $K$ — точка касания окружности отрезком $M_1E;$ тогда $LM_1KO$ — квадрат, т.к. $\angle L=\angle M_1=\angle K=90^{\circ},$ $OK=OL=r.$

Так как $AB = 10,$ получим:

$a+b+6=10;$ отсюда $a=1$ и $a:b=AM_1:BM_2=1:3.$

б) Найдем площадь пятиугольника $S_{M_1M_2FCE}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle FBM_2}-S_{\triangle AM_1E}.$

$S_{\triangle ABC}=48;$

$\displaystyle S_{\triangle FBM_2}=\frac{1}{2}BM_2\cdot M_2F=\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot \frac{4}{3}=2;$

Осталось найти $S_{\triangle AM_1E}$ .

Найдем $\angle A=\angle BAC:$

$\displaystyle \angle BAH=\alpha ; \: \: tg \, \alpha = \frac{3}{4}; \, \, \angle BAC=2\alpha ;$

$\displaystyle tg \, \angle BAC=tg\, 2 \alpha = \frac{2tg\, \alpha }{1-tg^2 \, \alpha }=\frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 7}=\frac{24}{7}.$

Тогда $\displaystyle \frac{M_1E}{AM_1}=tg \, 2 \alpha = \frac{24}{7};$

$\displaystyle M_1E = \frac{24}{7} \cdot AM_1=\frac{24}{7};$

$\displaystyle S_{\triangle AM_1E}=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \frac{24}{7}=\frac{12}{7};$

$\displaystyle S_{\triangle M_1M_2FCE}=48-2-\frac{12}{7}=40\frac{2}{7}.$

Ответ:

$40\frac{2}{7}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 16, Тренировочная работа № 3» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 14.09.2023

Решение. Задание 16, Тренировочная работа № 3

Это полезно