previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 16, Тренировочная работа № 3

 

Условие задачи

В треугольнике ABC известно, что AB = AC = 10, BC = 12.

На стороне AB отметили точки M_1 и M_2 так, что AM_1 \textless AM_2. Через точки M_1 и M_2 провели прямые, перпендикулярные стороне AB и отсекающие от треугольника ABC пятиугольник, в который можно вписать окружность.

а) Докажите, что AM_1 : BM_2 = 1:3.

б) Найдите площадь данного пятиугольника.

 

Решение

а) Окружность вписана в пятиугольник M_1M_2FCE, следовательно, она касается прямых AB, AC и BC, поэтому она вписана также в треугольник ABC.

Найдем радиус окружности с помощью формулы площади треугольника: S = pr.

Треугольник ABC — равнобедренный, AB = AC. Пусть H — середина BC, тогда AH — его высота.

Из \triangle ABH:    AH=\sqrt{10^2 -6^2}=8;

P_{\triangle ABC}=AB+AC+BC=10+10+12=32;

\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC \cdot AH=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8=48, из формулы

\displaystyle S=\frac{P_{\triangle ABC}}{2} \cdot r=p \cdot r получим: r=48:16=3.

Обозначим AM_1=a,\: \: BM_2=b

Пусть \alpha — точка касания окружности со стороной AB, Q — точка касания с отрезком M_2F.

Четырёхугольник LM_2QO — квадрат, т.к. \angle M_2= \angle L=\angle Q=90^{\circ}, DL=OQ;

MQ=OL=r=3; тогда M_2L=r=3.

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, тогда FQ=FH.

Обозначим FQ = FH = x

\triangle FBM_2 \sim \triangle ABH по двум углам;

\angle M_2FB=\angle BAH = \alpha

\displaystyle tg \, \alpha =\frac{BH}{AH}=\frac{3}{4}; если BM_2=b, то

\displaystyle M_2F=\frac{4}{3}B,\: \: BF=\frac{5}{3}b.

С другой стороны, \displaystyle BF=BH-FH=6-x=\frac{5b}{3}

\displaystyle M_2F=M_2Q+FQ=3+x=\frac{4b}{3}

Имеем систему уравнений:

\displaystyle \left\{\begin{matrix}6-x=\frac{5b}{3}\\3+x=\frac{4b}{3}\end{matrix}\right. ;

\left\{\begin{matrix}18-3x=5b\\9+3x=4b\end{matrix}\right. ;

Сложив уравнения, получим:

27=9b; \: \: b=3.

Пусть K — точка касания окружности отрезком M_1E; тогда LM_1KO — квадрат, т.к. \angle L=\angle M_1=\angle K=90^{\circ}, OK=OL=r

Так как AB = 10, получим:

a+b+6=10; отсюда a=1 и a:b=AM_1:BM_2=1:3.

б) Найдем площадь пятиугольника S_{M_1M_2FCE}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle FBM_2}-S_{\triangle AM_1E}

S_{\triangle ABC}=48;

\displaystyle S_{\triangle FBM_2}=\frac{1}{2}BM_2\cdot M_2F=\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot \frac{4}{3}=2;

Осталось найти S_{\triangle AM_1E}.

Найдем \angle A=\angle BAC

\displaystyle \angle BAH=\alpha ; \: \: tg \, \alpha = \frac{3}{4}; \, \, \angle BAC=2\alpha ;

\displaystyle tg \, \angle BAC=tg\, 2 \alpha = \frac{2tg\, \alpha }{1-tg^2 \, \alpha }=\frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 7}=\frac{24}{7},

Тогда \displaystyle \frac{M_1E}{AM_1}=tg \, 2 \alpha = \frac{24}{7},

\displaystyle M_1E = \frac{24}{7} \cdot AM_1=\frac{24}{7};

\displaystyle S_{\triangle AM_1E}=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \frac{24}{7}=\frac{12}{7}

\displaystyle S_{\triangle M_1M_2FCE}=48-2-\frac{12}{7}=40\frac{2}{7}

Ответ:

40\frac{2}{7}