Решение. Задание 14, Тренировочная работа № 3

Условие задачи

Основание пирамиды $DABC$ — прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C.$ Высота пирамиды проходит через точку $B.$ Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AD$ и $BC$ соответственно.

а) Докажите, что $MN$ является биссектрисой угла $BMC.$
б) Найдите угол между прямыми $BD$ и $MN,$ если $BD = 6\sqrt{2},$ $AC=16.$

Решение

а) Докажем, что $MN$ — биссектриса угла $BMC.$

$\triangle ADB$ — прямоугольный по условию, $\angle B=90^{\circ};$ $BM$ — его медиана.

Тогда $\displaystyle BM=\frac{1}{2}AD$ по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

По условию, $AC\perp BC;$

$BC$ — проекция $DC$ на плоскость $ABC,$ значит, $AC\perp DC$ по теореме о трёх перпендикулярах.

Значит, $\triangle ACD$ — прямоугольный, $\angle C=90^{\circ},$ $CM$ — его медиана, $\displaystyle CM=\frac{1}{2}AD$ по свойству медианы прямоугольного треугольника.

Получили:

$\displaystyle CM=\frac{1}{2}AD=BM$ ч.т.д.

б) Найдем угол между скрещивающимися прямыми $BD$ и $MN$ . По определению, он равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.

Пусть $P$ — середина $AB,$ тогда $MP$ — средняя линия $\triangle ABD,$ $MP\parallel BD \Rightarrow MP \perp (ABC);$ $\displaystyle MP=\frac{1}{2}BD.$

$PN$ — средняя линия $\triangle ABC, \: \: PN\parallel AC,$ $\displaystyle PN\perp BC, \: \: PN=\frac{1}{2}AC.$

Так как $MP\perp (ABC),$ то $MP\perp PN,$

$\triangle MPN$ — прямоугольный,

$\angle \varphi =\angle MPN$ — угол между прямым $MP$ и $MN,$ а также между $BD$ и $MN.$

Из $\triangle MPN:$

$\displaystyle tg \varphi =\frac{PN}{MP}=\frac{2 \cdot BD}{2 \cdot AC}=\frac{8}{3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.$

Ответ:

$\displaystyle \varphi =arctg \frac{4\sqrt{2}}{3}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 14, Тренировочная работа № 3» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.09.2023

Решение. Задание 14, Тренировочная работа № 3

Это полезно