previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 14, Тренировочная работа № 3

Условие задачи

Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. Точки M и N — середины рёбер AD и BC соответственно.

а) Докажите, что MN является биссектрисой угла BMC.
б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если BD = 6\sqrt{2}, AC=16.

Решение

а) Докажем, что MN — биссектриса угла BMC.

\triangle ADB — прямоугольный по условию, \angle B=90^{\circ}; BM — его медиана.

Тогда \displaystyle BM=\frac{1}{2}AD по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

По условию, AC\perp BC;

BC — проекция DC не плоскость ABC, значит, AC\perp DC по теореме о трёх перпендикулярах.

Значит, \triangle ACD — прямоугольный, \angle C=90^{\circ}, CM — его медиана, \displaystyle CM=\frac{1}{2}AD по свойству медианы прямоугольного треугольника.

Получили:

\displaystyle CM=\frac{1}{2}AD=BM ч.т.д.

б) Найдем угол между скрещивающимися прямыми BD и MN. По определению, он равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.

Пусть P — середина AB, тогда MP — средняя линия \triangle ABD, MP\parallel BD \Rightarrow MP \perp (ABC); \displaystyle MP=\frac{1}{2}BD

PN — средняя линия \triangle ABC, \: \: PN\parallel AC, \displaystyle PN\perp BC, \: \: PN=\frac{1}{2}AC.

Так как MP\perp (ABC), то MP\perp PN,

\triangle MPN — прямоугольный,

\angle \varphi =\angle MPN — угол между прямым MP и MN, а также между BD и MN.

Из \triangle MPN:

\displaystyle tg \varphi =\frac{PN}{MP}=\frac{2 \cdot BD}{2 \cdot AC}=\frac{8}{3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}

Ответ:

\displaystyle \varphi =arctg \frac{4\sqrt{2}}{3}