Решение. Задание 14, Тренировочная работа № 3

Условие задачи

Основание пирамиды $DABC$ — прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C.$ Высота пирамиды проходит через точку $B.$ Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AD$ и $BC$ соответственно.

а) Докажите, что $MN$ является биссектрисой угла $BMC.$
б) Найдите угол между прямыми $BD$ и $MN,$ если $BD = 6\sqrt{2},$ $AC=16.$

Решение

а) Докажем, что $MN$ — биссектриса угла $BMC.$

$\triangle ADB$ — прямоугольный по условию, $\angle B=90^{\circ};$ $BM$ — его медиана.

Тогда $\displaystyle BM=\frac{1}{2}AD$ по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

По условию, $AC\perp BC;$

$BC$ — проекция $DC$ на плоскость $ABC,$ значит, $AC\perp DC$ по теореме о трёх перпендикулярах.

Значит, $\triangle ACD$ — прямоугольный, $\angle C=90^{\circ},$ $CM$ — его медиана, $\displaystyle CM=\frac{1}{2}AD$ по свойству медианы прямоугольного треугольника.