Условие задачи
Основание пирамиды — прямоугольный треугольник
с прямым углом при вершине
Высота пирамиды проходит через точку
Точки
и
— середины рёбер
и
соответственно.
а) Докажите, что является биссектрисой угла
б) Найдите угол между прямыми и
если
Решение
а) Докажем, что — биссектриса угла
— прямоугольный по условию,
— его медиана.
Тогда по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
По условию,
— проекция
не плоскость
значит,
по теореме о трёх перпендикулярах.
Значит, — прямоугольный,
— его медиана,
по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Получили:
ч.т.д.
б) Найдем угол между скрещивающимися прямыми и
. По определению, он равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.
Пусть — середина
тогда
— средняя линия
— средняя линия
Так как то
— прямоугольный,
— угол между прямым
и
а также между
и
Из
Ответ: