previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 17, Тренировочная работа № 3

Условие задачи

По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 7 % в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Решение

Поскольку по вкладу А ежегодно начисляется 10% годовых, сумма на вкладе А ежегодно увеличивается в 1,1 раза и за 3 года увеличится в 1,1^3 раза.

За первый год сумма на вкладе Б увеличится в 1,07 раза.

Обозначим \displaystyle k = 1 + \frac{n}{100}. Тогда за второй и третий годы сумма на вкладе Б будет увеличиваться в k раз ежегодно и за 3 года увеличится в 1,07 \cdot k^2 раз.

Пусть первоначальная сумма вклада равна S. Так как за 3 года вклад Б оказался выгоднее, получим неравенство:

S \cdot 1,1^3 \textless S \cdot 1,07 \cdot k^2

1,1^3 \textless 1,07 \cdot k^2

\displaystyle k^2 \textgreater \frac{1,1^3}{1,07}

\displaystyle k^2 \textgreater \frac{1,331}{1,07}

k^2 \textgreater 1,244

(округлили до тысячных).

Очевидно, k = 1,1 не подходит, так как 1,1^2 = 1,21 \textless 1,244.

Для k=1,2 получим: 1,2^2 = 1,44 \textgreater 1,244.

Проверим значения k = 1,11; \: \: k=1,12

Для k = 1,11 имеем:

1,11^2 = 1,2321 \textless 1,244.

Для k = 1,12 имеем:

1,11^2 = 1,2544\textgreater 1,244. Значит, наименьшее возможное k = 1,12 и наименьшее возможное n – это 12%.

Основная сложность этой задачи – большое количество вычислений в столбик.

Ответ:

12%