previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 13, Тренировочная работа № 3

 

Условие задачи

a) Решите уравнение 2{\sin 2x\ }-{\cos x\ }=\sqrt{3}{\sin x}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \displaystyle \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].

Решение

а) Решим уравнение

2{\sin 2x\ }-{\cos x\ }=\sqrt{3}{\sin x}.

\displaystyle {\sin 2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}{\sin x }+\frac{1}{2}{\cos x}

Заметим, что \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi}{6}; \: \: \frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6};

Тогда \displaystyle {\sin x}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}={\cos \frac{\pi}{6} }; \: \: \frac{1}{2}={\sin \frac{\pi}{6}};

Заметим, что \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}={\cos \frac{\pi}{6} }; \: \: \frac{1}{2}={\sin \frac{\pi}{6} };

Тогда \displaystyle {\sin x}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+{\cos x}\cdot \frac{1}{2}={\sin x}\cdot {\cos \frac{\pi}{6}}+{\cos x}\cdot {\sin \frac{\pi}{6}}={\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}

Мы применим формулу \displaystyle {\sin \left(\alpha +\beta \right)}={\sin \alpha {\cos \beta }}+{\cos \alpha {\sin \beta } }.

Получим:

\displaystyle {\sin 2x}={\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\ };

\displaystyle {\sin 2x}-{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0\ }.

Применим формулу разности синусов:

\displaystyle {\sin \alpha }-{\sin \beta }=2{\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\ }{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}} .

В нашем случае

\displaystyle \frac{\alpha - \beta }{2}=\frac{2x-x-\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{12}

\displaystyle \frac{\alpha + \beta }{2}=\frac{2x+x+\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{12}.

Получим: \displaystyle {\sin 2x }-{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=2{\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{12}\right){\cos \left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)}}}

Уравнение примет вид:

\displaystyle 2{\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{12}\right){\cos \left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=0\ }\ }

Это значит:

б) Рассмотрим серию решений

\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\: \: n \in Z.

Отберем корни на отрезке \left [-2 \pi; -\frac{\pi}{2} \right ] с помощью двойного неравенства.

\displaystyle -2 \pi \leq \frac{\pi}{6}+2\pi n\leq -\frac{\pi}{2}

\displaystyle -2 \leq \frac{1}{6}+2n\leq -\frac{1}{2}

\displaystyle - \frac{13}{6} \leq 2n \leq - \frac{2}{3}

\displaystyle -1 \frac{1}{12} \leq n- \frac{1}{3}; \: \: n=-1;

\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{11 \pi}{6}

2) Рассмотрим серию решений \displaystyle x=\frac{5 \pi}{18}+\frac{2 \pi k}{3}; отберем корни на отрезке \displaystyle \left [ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right ] с помощью двойного неравенства

\displaystyle -2\pi \leq \frac{5 \pi}{18}+\frac{2 \pi k}{3}\leq -\frac{\pi}{2}

\displaystyle -2\leq \frac{5}{18}+\frac{2 k}{3}\leq -\frac{1}{2}

\displaystyle -\frac{41}{18}\leq \frac{2k}{3}\leq -\frac{14}{18}

\displaystyle -\frac{41}{12}\leq k \leq -\frac{14}{12}

\displaystyle -3 \frac{5}{12}\leq k\leq -1\frac{1}{6}; k=-2 или k=-3.

Если k=-2, \displaystyle x_2=\frac{5 \pi}{18}-\frac{4 \pi}{3}=-\frac{19 \pi}{18};

если k=3, \displaystyle x_3=\frac{5 \pi}{18}-2 \pi =-\frac{31 \pi}{18}.

Ответ:

\displaystyle -\frac{31 \pi}{18}; \: \: -\frac{19 \pi}{18}; \: \: -\frac{11 \pi}{6}.