Решение. Задание 13, Тренировочная работа № 3

Условие задачи

a) Решите уравнение $2{\sin 2x\ }-{\cos x\ }=\sqrt{3}{\sin x}.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\displaystyle \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].$

Решение

а) Решим уравнение

$2{\sin 2x\ }-{\cos x\ }=\sqrt{3}{\sin x}.$

$\displaystyle {\sin 2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}{\sin x }+\frac{1}{2}{\cos x}.$

Заметим, что $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi}{6}; \: \: \frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6};$

Тогда $\displaystyle {\sin x}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}={\cos \frac{\pi}{6} }; \: \: \frac{1}{2}={\sin \frac{\pi}{6}};$

Заметим, что $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}={\cos \frac{\pi}{6} }; \: \: \frac{1}{2}={\sin \frac{\pi}{6} };$

Тогда $\displaystyle {\sin x}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+{\cos x}\cdot \frac{1}{2}={\sin x}\cdot {\cos \frac{\pi}{6}}+{\cos x}\cdot {\sin \frac{\pi}{6}}={\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}.$

Мы применим формулу $\displaystyle {\sin \left(\alpha +\beta \right)}={\sin \alpha {\cos \beta }}+{\cos \alpha {\sin \beta } }.$

Получим:

$\displaystyle {\sin 2x}={\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\ };$

$\displaystyle {\sin 2x}-{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0\ }.$

Применим формулу разности синусов:

$\displaystyle {\sin \alpha }-{\sin \beta }=2{\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\ }{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}} .$

В нашем случае

$\displaystyle \frac{\alpha - \beta }{2}=\frac{2x-x-\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{12};$

$\displaystyle \frac{\alpha + \beta }{2}=\frac{2x+x+\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{12}.$

Получим: $\displaystyle {\sin 2x }-{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=2{\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{12}\right){\cos \left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)}}}.$

Уравнение примет вид:

$\displaystyle 2{\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{12}\right){\cos \left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=0\ }\ }.$

Это значит:

б) Рассмотрим серию решений

$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\: \: n \in Z.$

Отберем корни на отрезке $\left [-2 \pi; -\frac{\pi}{2} \right ]$ с помощью двойного неравенства.

$\displaystyle -2 \pi \leq \frac{\pi}{6}+2\pi n\leq -\frac{\pi}{2};$

$\displaystyle -2 \leq \frac{1}{6}+2n\leq -\frac{1}{2};$

$\displaystyle - \frac{13}{6} \leq 2n \leq - \frac{2}{3};$

$\displaystyle -1 \frac{1}{12} \leq n- \frac{1}{3}; \: \: n=-1;$

$\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{11 \pi}{6}.$

2) Рассмотрим серию решений $\displaystyle x=\frac{5 \pi}{18}+\frac{2 \pi k}{3};$ отберем корни на отрезке $\displaystyle \left [ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right ]$ с помощью двойного неравенства.