Условие задачи
Для любого натурального числа \(n (n \geq 1)\) обозначим через \(O (n)\) количество нечётных цифр в десятичной записи этого числа.
Например, \(O (123) = 2\), а \(O (2048) = 0.\)
а) Существует ли такое натуральное число \(n \), что \(O (4 \cdot n)=O(n)+2?\)
б) Существует ли такое натуральное число \(n \), что \(O (5^n +2^{n+1} -2)> n?\)
в) Для какого наименьшего натурального числа \(n \) выполнено равенство \(O (11 \cdot n)=O(n)+2?\)
Решение
а) Да, такое может быть.
Например, \(n=88, \: 4n=352.\)
В числе 88 нет нечетных цифр, в числе 352 есть 2 нечетные цифры, \(O (4 \cdot 88)=O(88)+2\).
б) Заметим, что если \(n\) — однозначное число, то \(n< 10,\) если \(n\) — двузначное, то \(n < 100,\) если \(n \; k\)-значное (в нем \(k\) цифр), то \(n < 10^k.\)
Оценим выражение \(A=5^n +2^{n+1}-2.\)
Сравним \(A\) и \(10^n.\)
Покажем, что
\(5^n + 2^{n+1}-2 < 10^n;\)
\(5^n + 2 \cdot 2^n - 10^n < 2;\)
\(\underline{5^n} +2\cdot2^n-\underline{5^n\cdot 2^n} < 2;\)
\(5^n (1-2^n)< 2(1-2^n);\)
\(5^n (1-2^n)- 2(1-2^n) < 0.\)
Разложим левую часть на множители:
\((5^n -2)(2^n-1) > 0.\)
Это неравенство выполняется для всех \(n \geq 1,\) так как \(5^n > 2,\: 2^n > 1.\)
А значит, что \(5^n +2\cdot 2^n -2 < 10^n.\)
Это означает, что в числе \(A\) не может быть больше \(n\) цифр, то есть число \(A\) — не более чем \(k\)-значное.
Мы получили, что в числе \(A=5^n +2^{n+1} - 2\) не более \(n\) цифр, следовательно, в нем не более \(n\) нечетных цифр, и неравенство
\(O(5^n +2^{n+1} -2)> n\) не может выполняться, ответ — нет.
в) Например, это равенство выполнено для \(n=87.\)
\(O(11 \cdot 87)=O(87)+2,\) так как \(11 \cdot 87 = 957 \) — 3 нечетные цифры.
Найдем наименьшее \(n,\) для которого выполнено равенство.
Предположим, что \(n\) — однозначное, \(n\leq 9.\) Тогда \(11n\leq 99\) — двузначное, и количество нечетных цифр в числах \(11n\) и \(n\) не может различаться на две.
Пусть \(n\) — двузначное, \(n=10a+b=\overline{ab}.\)
При умножении числа \(\overline{ab}\) на 11 получится число \(\overline{a\:\: \: \: a+b\:\:\: \: b}\) или число \(\overline{a+1\:\: \: \: a+b-10\:\:\: \: b}\).
Случай, когда \(a\) и \(b\) четны, не подходит (не получим 4 нечетные цифры).
Если \(a\) и \(b\) нечетны, то \(a + 1\) – четно, \(a + b – 10\) – четно, т. е. не получается 4 нечетные цифры.
Если \(a\) нечетно, а \(b\) четно, то \( a + 1\) – четно, \(a + b – 10\) – четно, т. е. не получается 4 нечетные цифры.
Пусть \(b\) нечетная цифра, \(a\) четная.
Тогда \(a+b-10\) — нечетно, \(a+1\) — нечетно.
Будем искать число \(n = \overline{ab}\) среди таких чисел, для которых \(11 \cdot \overline{ab} = \overline{a\:\: \: \: a+b-10\:\:\: \: b}.\)
Тогда \(a+b-10\geq 0,\) то есть \(a+b\geq 10.\)
Но \(a+b=10\) не подходит (\(O\) — четное), значит, \(a+b\geq 11.\)
Возьмем \(a+b=11,\) причем \(b\) - нечетное. Наименьшее из таких чисел: 29.
\(29 \cdot 11 = 319,\)
\(O(319)=O(29)+2.\)
Если \(21< n < 29,\) то \(a+b < 11.\)
Если \(11 < n < 19,\) то \(a+b< 11.\)
Число 10 и 20 не подходят, в них обе цифры четные. Значит, \(n_{min}=29.\)
Ответ:
а) Да. б) Нет. в) 29.
