Условие задачи
Для любого натурального числа обозначим через
количество нечётных цифр в десятичной записи этого числа.
Например, , а
а) Существует ли такое натуральное число , что
б) Существует ли такое натуральное число , что
в) Для какого наименьшего натурального числа выполнено равенство
Решение
а) Да, такое может быть.
Например,
В числе 44 нет нечетных цифр, в числе 352 есть 2 нечетные цифры,
б) Заметим, что если
— однозначное число, то
если
— двузначное, то
если
k-значное (в нем k цифр), то
Оценим выражение
Сравним A и
Покажем, что
Разложим левую часть на множители:
Это неравенство выполняется для всех так как
Это значит, что
Это означает, что в числе А не может быть больше цифр, то есть число А — не более чем k-значное.
Мы получили, что в числе не более
цифр, следовательно, в нем не более
нечетных цифр, и неравенство
не может выполняться, ответ — нет.
в) Например, это равенство выполнено для
так как
— 2 нечетные цифры.
Найдем наименьшее для которого выполнено неравенство.
Предположим, что — однозначное,
Тогда
— двузначное, и количество нечетных цифр в числах
и
не может различаться на две.
Пусть — двузначное,
При умножении числа на 11 получится число
или число
Случай, когда и
четны, не подходит (не получим 4 нечетные цифры).
Пусть нечетная цифра,
четная.
Тогда — нечетно,
— нечетно.
Будем искать число среди таких чисел, для которых
Тогда то есть
Но не подходит (
— четное), значит,
Возьмем причем
нечетное наименьшее из таких чисел: 29.
Если то
Если то
Число 10 и 20 не подходят, в них обе цифры четные. Значит,
Ответ:
а) да б) нет в) 29