previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 19, Тренировочная работа № 3

Условие задачи

Для любого натурального числа n (n \geq 1) обозначим через O (n) количество нечётных цифр в десятичной записи этого числа.

Например, O (123) = 2, а O (2048) = 0.

а) Существует ли такое натуральное число n , что O (4 \cdot n)=O(n)+2?

б) Существует ли такое натуральное число n , что O (5^n +2^{n+1} -2)\textgreater n?

в) Для какого наименьшего натурального числа n выполнено равенство O (11 \cdot n)=O(n)+2?

Решение

а) Да, такое может быть.
Например, n=88, \: \: 4n=352.

В числе 88 нет нечетных цифр, в числе 352 есть 2 нечетные цифры, O (4 \cdot 88)=O(88)+2.

б) Заметим, что если

n — однозначное число, то n \textless 10, если n — двузначное, то n \textless 100, если n k-значное (в нем k цифр), то n \textless 10^k.

Оценим выражение A=5^n +2^{n+1}-2.

Сравним A и 10^n.

Покажем, что

5^n + 2^{n+1}-2 \textless 10^n

5^n + 2 \cdot 2^n - 10^n \textless 2

\underline{5^n} +2\cdot2^n-\underline{5^n\cdot 2^n} \textless 2

5^n (1-2^n)\textless 2(1-2^n)

5^n (1-2^n)- 2(1-2^n) \textless 0

Разложим левую часть на множители:

(5^n -2)(2^n-1) \textgreater 0.

Это неравенство выполняется для всех n \geq 1, так как 5^n \textgreater 2,\: \: 2^n \textgreater 1.

Это значит, что

5^n +2\cdot 2^n -2 \textless 10^n.

Это означает, что в числе А не может быть больше n цифр, то есть число А — не более чем k-значное.

Мы получили, что в числе A=5^n +2^{n+1} - 2 не более n цифр, следовательно, в нем не более n нечетных цифр, и неравенство

O(5^n +2^{n+1} -2)\textgreater n не может выполняться, ответ — нет.

в) Например, это равенство выполнено для n=87.

O(11 \cdot 87)=O(87)+2, так как 11 \cdot 87 = 957 — 3 нечетные цифры.

Найдем наименьшее n, для которого выполнено равенство.

Предположим, что n — однозначное, n\leq 9. Тогда 11n\leq 99 — двузначное, и количество нечетных цифр в числах 11n и n не может различаться на две.

Пусть n — двузначное,
n=10a+b=\overline{ab}.
При умножении числа \overline{ab} на 11 получится число \overline{a\:\: \: \:  a+b\:\:\: \:   b} или число \overline{a+1\:\: \: \:  a+b-10\:\:\: \:   b}.

Случай, когда a и b четны, не подходит (не получим 4 нечетные цифры).

Если a и b нечетны, то а + 1 – четно, a + b – 10 – четно, т. е. не получается 4 нечетные цифры.
Если a нечетно, а b четно, то а + 1 – четно, a + b – 10 – четно, т. е. не получается 4 нечетные цифры.

Пусть b нечетная цифра, a четная.

Тогда a+b-10 — нечетно, a+1 — нечетно.

Будем искать число n = \overline{ab} среди таких чисел, для которых

11 \cdot \overline{ab} = \overline{a\:\: \: \:  a+b-10\:\:\: \:   b}.

Тогда a+b-10\geq 0, то есть a+b\geq 10.

Но a+b=10 не подходит (O — четное), значит, a+b\geq 11.

Возьмем a+b=11, причем b - нечетное. Наименьшее из таких чисел: 29.

29 \cdot 11 = 319,

O(319)=O(29)+2.

Если 21 \textless n \textless 29, то a+b \textless 11.

Если 11 \textless n \textless 19, то a+b\textless 11.

Число 10 и 20 не подходят, в них обе цифры четные. Значит, n_{min}=29.

Ответ:

а) да б) нет в) 29