Решение. Задание 19, Тренировочная работа № 3

Условие задачи

Для любого натурального числа $n (n \geq 1)$ обозначим через $O (n)$ количество нечётных цифр в десятичной записи этого числа.

Например, $O (123) = 2$ , а $O (2048) = 0.$

а) Существует ли такое натуральное число $n$ , что $O (4 \cdot n)=O(n)+2?$

б) Существует ли такое натуральное число $n$ , что $O (5^n +2^{n+1} -2)\textgreater n?$

в) Для какого наименьшего натурального числа $n$ выполнено равенство $O (11 \cdot n)=O(n)+2?$

Решение

а) Да, такое может быть.
Например, $n=88, \: \:$ $4n=352.$

В числе 88 нет нечетных цифр, в числе 352 есть 2 нечетные цифры, $O (4 \cdot 88)=O(88)+2$ .

б) Заметим, что если

$n$ — однозначное число, то $n \textless 10,$ если $n$ — двузначное, то $n \textless 100,$ если $n$ k-значное (в нем k цифр), то $n \textless 10^k.$

Оценим выражение $A=5^n +2^{n+1}-2.$

Сравним A и $10^n.$

Покажем, что

$5^n + 2^{n+1}-2 \textless 10^n$

$5^n + 2 \cdot 2^n - 10^n \textless 2$

$\underline{5^n} +2\cdot2^n-\underline{5^n\cdot 2^n} \textless 2$

$5^n (1-2^n)\textless 2(1-2^n)$

$5^n (1-2^n)- 2(1-2^n) \textless 0$

Разложим левую часть на множители:

$(5^n -2)(2^n-1) \textgreater 0.$

Это неравенство выполняется для всех $n \geq 1,$ так как $5^n \textgreater 2,\: \:$ $2^n \textgreater 1.$

Это значит, что

$5^n +2\cdot 2^n -2 \textless 10^n.$

Это означает, что в числе А не может быть больше $n$ цифр, то есть число А — не более чем k-значное.

Мы получили, что в числе $A=5^n +2^{n+1} - 2$ не более $n$ цифр, следовательно, в нем не более $n$ нечетных цифр, и неравенство

$O(5^n +2^{n+1} -2)\textgreater n$ не может выполняться, ответ — нет.

в) Например, это равенство выполнено для $n=87.$

$O(11 \cdot 87)=O(87)+2,$ так как $11 \cdot 87 = 957$ — 3 нечетные цифры.

Найдем наименьшее $n,$ для которого выполнено равенство.

Предположим, что $n$ — однозначное, $n\leq 9.$ Тогда $11n\leq 99$ — двузначное, и количество нечетных цифр в числах $11n$ и $n$ не может различаться на две.

Пусть $n$ — двузначное,
$n=10a+b=\overline{ab}.$
При умножении числа $\overline{ab}$ на 11 получится число $\overline{a\:\: \: \: a+b\:\:\: \: b}$ или число $\overline{a+1\:\: \: \: a+b-10\:\:\: \: b}$ .

Случай, когда $a$ и $b$ четны, не подходит (не получим 4 нечетные цифры).

Если a и b нечетны, то а + 1 – четно, a + b – 10 – четно, т. е. не получается 4 нечетные цифры.
Если a нечетно, а b четно, то а + 1 – четно, a + b – 10 – четно, т. е. не получается 4 нечетные цифры.

Пусть $b$ нечетная цифра, $a$ четная.

Тогда $a+b-10$ — нечетно, $a+1$ — нечетно.