previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 18, Тренировочная работа № 3

Условие задачи

Найдите все значения a, при которых уравнение

\left (x^2 -5 +\ln (x-a) \right )^2=(x^2-5)^2+ \ln^2 (x-a)

имеет единственное решение на отрезке [0; 3].

Решение

Сделаем замену:

x^2-5=t;

\ln(x-a)=z

Получим:

(t+z)^2=t^2+z^2

t^2+2tz+z^2=t^2+z^2

Мы применили формулу: (a + b)^2= a^2 +2ab +b^2.

Уравнение примет вид: tz = 0.

Вернемся к переменной x. С учетом условия 0 \leq x \leq 3 получим систему:

\left\{\begin{matrix}(x^2-5)\cdot \ln(x-a)=0\\0 \leq x \leq 3\end{matrix}\right.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Это значит:

 

Это значит, что при a \textless \sqrt{5} уравнение имеет решение x= \sqrt{5}, а при -1 \leq a \leq 2 уравнение имеет решение x = a + 1.

1) Отметим на оси a интервалы, на которых уравнение имеет корень x_1 и на которых оно имеет корень x_2.

Штриховкой на рисунке отмечены интервалы для параметра a, для которых уравнение имеет ровно одно решение.

2) Также уравнение имеет единственное решение, если корни x_1 и x_2 совпадают, то есть \sqrt{5} = a + 1.

Это происходит при a = \sqrt{5} - 1.

Так как \sqrt{5} - 1 \textless 2, получим еще одно значение параметра a, удовлетворяющее условию задачи.

Ответ:

a \in \left (- \infty ; -1 \right ) \cup \{ \sqrt{5}-1\} \cup (2; \sqrt{5} )