Решение. Задание 18, Тренировочная работа № 3

Условие задачи

Найдите все значения $a$ , при которых уравнение

$\left (x^2 -5 +\ln (x-a) \right )^2=(x^2-5)^2+ \ln^2 (x-a)$

имеет единственное решение на отрезке [0; 3].

Решение

Сделаем замену:

$x^2-5=t;$

$\ln(x-a)=z.$

Получим:

$(t+z)^2=t^2+z^2;$

$t^2+2tz+z^2=t^2+z^2.$

Мы применили формулу: $(a + b)^2= a^2 +2ab +b^2.$

Уравнение примет вид: $tz = 0.$

Вернемся к переменной $x.$ С учетом условия $0 \leq x \leq 3$ получим систему:

$\left\{\begin{matrix}(x^2-5)\cdot \ln(x-a)=0\\0 \leq x \leq 3\end{matrix}\right. .$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Это значит:

Это значит, что при $a \textless \sqrt{5}$ уравнение имеет решение $x= \sqrt{5},$ а при $-1 \leq a \leq 2$ уравнение имеет решение $x = a + 1.$

1) Отметим на оси $a$ интервалы, на которых уравнение имеет корень $x_1$ и на которых оно имеет корень $x_2.$

Штриховкой на рисунке отмечены интервалы для параметра $a,$ для которых уравнение имеет ровно одно решение.

2) Также уравнение имеет единственное решение, если корни $x_1$ и $x_2$ совпадают, то есть $\sqrt{5} = a + 1.$

Это происходит при $a = \sqrt{5} - 1.$

Так как $\sqrt{5} - 1 \textless 2,$ получим еще одно значение параметра $a,$ удовлетворяющее условию задачи.

Ответ:

$a \in \left (- \infty ; -1 \right ) \cup \{ \sqrt{5}-1\} \cup (2; \sqrt{5} ).$

Это полезно