Условие задачи
Основание пирамиды \(DABC\) — прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C.\) Высота пирамиды проходит через точку \(B.\) Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AD\) и \(BC\) соответственно.
а) Докажите, что \(MN\) является биссектрисой угла \(BMC.\)
б) Найдите угол между прямыми \(BD\) и \(MN,\) если \(BD = 6\sqrt{2}, \; AC=16.\)
Решение
а) Докажем, что \(MN\) — биссектриса угла \(BMC.\)
\(\triangle ADB\) — прямоугольный по условию, \(\angle B=90^{\circ}; \; BM\) — его медиана.
Тогда \(\displaystyle BM=\frac{1}{2}AD\) по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
По условию, \(AC\perp BC;\)
\(BC\) — проекция \(DC\) на плоскость \(ABC,\) значит, \(AC\perp DC\) по теореме о трёх перпендикулярах.
Значит, \(\triangle ACD\) — прямоугольный, \(\angle C=90^{\circ}, \; CM\) — его медиана, \(\displaystyle CM=\frac{1}{2}AD\) по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Получили:
\(\displaystyle CM=\frac{1}{2}AD=BM\) ч. т. д.
б) Найдем угол между скрещивающимися прямыми \(BD\) и \(MN\). По определению, он равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.
Пусть \(P\) — середина \(AB,\) тогда \(MP\) — средняя линия \(\triangle ABD, \; MP\parallel BD \Rightarrow MP \perp (ABC); \; \displaystyle MP=\frac{1}{2}BD.\)
\(PN\) — средняя линия \(\triangle ABC, \: \: PN\parallel AC, \; \displaystyle PN\perp BC, \: \: PN=\frac{1}{2}AC.\)
Так как \(MP\perp (ABC),\) то \(MP\perp PN,\)
\(\triangle MPN\) — прямоугольный,
\(\angle \varphi =\angle MPN\) — угол между прямым \(MP\) и \(MN,\) а также между \(BD\) и \(MN.\)
Из \(\triangle MPN:\)
\(\displaystyle tg \varphi =\frac{PN}{MP}=\frac{2 \cdot BD}{2 \cdot AC}=\frac{8}{3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.\)
Ответ:
\(\displaystyle \varphi =arctg \frac{4\sqrt{2}}{3}.\)
