Условие задачи
Решите неравенство: \(\displaystyle 5^{\frac{x^2-7|x|+10}{x^2 -6x +9}}\leq 1.\)
Решение
\(\displaystyle 5^{\frac{x^2-7|x|+10}{x^2 -6x +9}}\leq 5^{0}.\)
Функция \(y=5^t\) — монотонно возрастает, и если \(5^{t_1}\leq 5^{t_2},\) то \(t_1\leq t_2\).
\(\displaystyle \frac{x^2 -7|x|+10}{x^2 -6x +9}\leq 0.\)
В знаменателе — полный квадрат: \(x^2-6x+9 =(x-3)^2.\)
\(\displaystyle \frac{x^2 -7|x| +10}{(x-3)^2}\leq 0.\)
Так как знаменатель положителен при \(x\neq 3\), неравенство равносильно системе
\(\left\{\begin{matrix}
x^2 -7|x|+10\leq 0,\\
x\neq 3.
\end{matrix}\right. \)
Решим 1 неравенство системы.
Замена; \(|x|=y, \; y\geq 0;\)
\(y^2-7y+10\leq 0;\)
\((y-2)(y-5)\leq 0.\)
Для \(x\) получим с учетом ОДЗ:
\(x\in \left [ -5; -2 \right ]\cup [2; 3)\cup (3;5].\)
Ответ:
\(x\in \left [ -5; -2 \right ]\cup [2; 3)\cup (3;5].\)
