Условие задачи
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = AC = 10,\) \(BC = 12.\)
На стороне \(AB\) отметили точки \(M_1\) и \(M_2\) так, что \(AM_1 \textless AM_2.\) Через точки \(M_1\) и \(M_2\) провели прямые, перпендикулярные стороне \(AB\) и отсекающие от треугольника \(ABC\) пятиугольник, в который можно вписать окружность.
а) Докажите, что \(AM_1 : BM_2 = 1:3.\)
б) Найдите площадь данного пятиугольника.
Решение
а) Окружность вписана в пятиугольник \(M_1M_2FCE\), следовательно, она касается прямых \(AB,\) \(AC\) и \(BC,\) поэтому она вписана также в треугольник \(ABC.\)
Найдем радиус окружности с помощью формулы площади треугольника: \(S = pr\).
Треугольник \(ABC\) — равнобедренный, \(AB = AC.\) Пусть \(H\) — середина \(BC,\) тогда \(AH\) — его высота.
Из \(\triangle ABH: \) \(AH=\sqrt{10^2 -6^2}=8;\)
\(P_{\triangle ABC}=AB+AC+BC=10+10+12=32;\)
\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC \cdot AH=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8=48,\) из формулы
\(\displaystyle S=\frac{P_{\triangle ABC}}{2} \cdot r=p \cdot r\) получим: \(r=48:16=3\).
Обозначим \(AM_1=a,\: \: BM_2=b.\)
Пусть \(\alpha \) — точка касания окружности со стороной \(AB,\) \(Q\) — точка касания с отрезком \(M_2F\).
Четырёхугольник \(LM_2QO\) — квадрат, т.к. \(\angle M_2= \angle L=\angle Q=90^{\circ}, DL=OQ;\)
\(MQ=OL=r=3;\) тогда \(M_2L=r=3\).
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, тогда \(FQ=FH\).
Обозначим \(FQ = FH = x.\)
\(\triangle FBM_2 \sim \triangle ABH\) по двум углам;
\(\angle M_2FB=\angle BAH = \alpha ;\)
\(\displaystyle tg \, \alpha =\frac{BH}{AH}=\frac{3}{4};\) если \(BM_2=b,\) то
\(\displaystyle M_2F=\frac{4}{3}B,\: \: BF=\frac{5}{3}b.\)
С другой стороны, \(\displaystyle BF=BH-FH=6-x=\frac{5b}{3};\)
\(\displaystyle M_2F=M_2Q+FQ=3+x=\frac{4b}{3}.\)
Имеем систему уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
6-x=\frac{5b}{3}\\
3+x=\frac{4b}{3}
\end{matrix}\right. ;\)
\(\left\{\begin{matrix}
18-3x=5b\\
9+3x=4b
\end{matrix}\right. .\)
Сложив уравнения, получим:
\(27=9b; \: \: b=3.\)
Пусть \(K\) — точка касания окружности отрезком \(M_1E;\) тогда \(LM_1KO\) — квадрат, т.к. \(\angle L=\angle M_1=\angle K=90^{\circ},\) \(OK=OL=r.\)
Так как \(AB = 10,\) получим:
\(a+b+6=10;\) отсюда \(a=1\) и \(a:b=AM_1:BM_2=1:3.\)
б) Найдем площадь пятиугольника \(S_{M_1M_2FCE}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle FBM_2}-S_{\triangle AM_1E}.\)
\(S_{\triangle ABC}=48;\)
\(\displaystyle S_{\triangle FBM_2}=\frac{1}{2}BM_2\cdot M_2F=\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot \frac{4}{3}=2;\)
Осталось найти \(S_{\triangle AM_1E}\).
Найдем \(\angle A=\angle BAC:\)
\(\displaystyle \angle BAH=\alpha ; \: \: tg \, \alpha = \frac{3}{4}; \, \, \angle BAC=2\alpha ;\)
\(\displaystyle tg \, \angle BAC=tg\, 2 \alpha = \frac{2tg\, \alpha }{1-tg^2 \, \alpha }=\frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 7}=\frac{24}{7}.\)
Тогда \(\displaystyle \frac{M_1E}{AM_1}=tg \, 2 \alpha = \frac{24}{7};\)
\(\displaystyle M_1E = \frac{24}{7} \cdot AM_1=\frac{24}{7};\)
\(\displaystyle S_{\triangle AM_1E}=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \frac{24}{7}=\frac{12}{7};\)
\(\displaystyle S_{\triangle M_1M_2FCE}=48-2-\frac{12}{7}=40\frac{2}{7}.\)
Ответ:
\(40\frac{2}{7}.\)
