Условие задачи
По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 7 % в первый год и на одинаковое целое число \(n\) процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение \(n\), при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.
Решение
Поскольку по вкладу «А» ежегодно начисляется 10% годовых, сумма на вкладе «А» ежегодно увеличивается в 1,1 раза и за 3 года увеличится в \(1,1^3\) раза.
За первый год сумма на вкладе «Б» увеличится в 1,07 раза.
Обозначим \(\displaystyle k = 1 + \frac{n}{100}.\) Тогда за второй и третий годы сумма на вкладе «Б» будет увеличиваться в \(k\) раз ежегодно и за 3 года увеличится в \(1,07 \cdot k^2\) раз.
Пусть первоначальная сумма вклада равна \(S\). Так как за 3 года вклад «Б» оказался выгоднее, получим неравенство:
\(S \cdot 1,1^3 < S \cdot 1,07 \cdot k^2;\)
\(1,1^3< 1,07 \cdot k^2;\)
\(\displaystyle k^2 > \frac{1,1^3}{1,07};\)
\(\displaystyle k^2 > \frac{1,331}{1,07};\)
\(k^2 > 1,244\) (округлили до тысячных).
Очевидно, \(k = 1,1\) не подходит, так как \(1,1^2 = 1,21 < 1,244.\)
Для \(k=1,2\) получим: \(1,2^2 = 1,44 > 1,244.\)
Проверим значения \(k = 1,11; \: \: k=1,12.\)
Для \(k = 1,11\) имеем:
\(1,11^2 = 1,2321 < 1,244.\)
Для \(k = 1,12\) имеем:
\(1,11^2 = 1,2544> 1,244.\) Значит, наименьшее возможное \(k = 1,12\) и наименьшее возможное \(n\) – это 12%.
Основная сложность этой задачи – большое количество вычислений в столбик.
Ответ:
12%.
