Условие задачи
Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(\left (x^2 -5 +\ln (x-a) \right )^2=(x^2-5)^2+ \ln^2 (x-a)\) имеет единственное решение на отрезке \([0; 3].\)
Решение
Сделаем замену: \(x^2-5=t; \; \ln(x-a)=z.\)
Получим:
\((t+z)^2=t^2+z^2;\)
\(t^2+2tz+z^2=t^2+z^2.\)
Мы применили формулу: \((a + b)^2= a^2 +2ab +b^2.\)
Уравнение примет вид: \(tz = 0.\)
Вернемся к переменной \(x.\) С учетом условия \(0 \leq x \leq 3\) получим систему:
\(\left\{\begin{matrix}
(x^2-5)\cdot \ln(x-a)=0,\\
0 \leq x \leq 3.
\end{matrix}\right. \)
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Это значит:
\(\left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
x^{2}-5=0, \\x-a> 0,
\\0\leq x\leq 3,
\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}
ln(x-a)=0, \\x-a> 0,
\\0\leq x\leq 3;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
x=\sqrt{5}, \\x-a> 0,
\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}
x-a=1, \\0\leq x\leq 3;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
x=\sqrt{5}, \\a< \sqrt{5},
\end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}
x=a+1, \\0\leq a+1\leq 3;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
x=\sqrt{5}, \\a< \sqrt{5},
\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}
x=a+1, \\-1\leq a\leq 2.
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\)
Это значит, что при \(a< \sqrt{5}\) уравнение имеет решение \(x= \sqrt{5},\) а при \(-1 \leq a \leq 2\) уравнение имеет решение \(x = a + 1.\)
1) Отметим на оси \(a\) интервалы, на которых уравнение имеет корень \(x_1\) и на которых оно имеет корень \(x_2.\)
Штриховкой на рисунке отмечены интервалы для параметра \(a,\) для которых уравнение имеет ровно одно решение.
2) Также уравнение имеет единственное решение, если корни \(x_1\) и \(x_2\) совпадают, то есть \(\sqrt{5} = a + 1.\)
Это происходит при \(a = \sqrt{5} - 1.\)
Так как \(\sqrt{5} - 1 < 2,\) получим еще одно значение параметра \(a,\) удовлетворяющее условию задачи.
Ответ:
\(a \in \left (- \infty ; -1 \right ) \cup \{ \sqrt{5}-1\} \cup (2; \sqrt{5} ).\)
