Квадратные уравнения

Квадратные уравнения.

Вспомним, как выглядит квадратное уравнение.

Квадратное уравнение имеет вид $ax^2+bx+c=0$ , где $a$ не равно нулю.

Например: $3x^2+4x-8=0$ . Здесь $a=3$ , $b=4$ , $c=-8.$

Числа $a$ и $b$ называют коэффициентами квадратного уравнения, число $c$ - свободным членом.

Чтобы решить квадратное уравнение, мы вычисляем выражение, которое называется дискриминант и обозначается $D$ .

Дискриминант находим по формуле:

$D=b^2-4ac$

Если $D>0$ , то квадратное уравнение имеет два различных корня. Они вычисляются по формуле $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Если $D=0$ , уравнение имеет один корень, который вычисляем так: $x_{1,2}=\frac{-b}{2a}$

Если $D<0$ , то уравнение не имеет корней.

Пример 1. Решим уравнение:

$x^2+5x-14=0$

$a=1; b=5; c=-14$

$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81$

$D>0;$

$x_1=\frac{-5-\sqrt{81}}{2\cdot 1}=\frac{-5-9}{2}=-7$

$x_2=\frac{-5+\sqrt{81}}{2\cdot 1}=\frac{-5+9}{2}=2$

Ответ: -7 и 2.

Пример 2. Решим уравнение:

$7x^2-6x+3=0$

$a=7$ ; $b=-6$ ; $c=3$ .

$D=(-6)^2-4\cdot 7\cdot 3=36-84=-48<0$ , уравнение не имеет корней .

Если один из коэффициентов квадратного уравнения, $b$ или $c$ , равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Если $a=0$ , то уравнение не квадратное, а линейное.

Если $b=0$ , то уравнение принимает вид $ax^2+c=0$ и решается так:

$ax^2=-c$

$x^2=-\frac{c}{a}$

Если $-\frac{c}{a}>0,$ то $x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$

Если $-\frac{c}{a}<0,$ то решений нет.

Пример 3.

$\frac{25}{49} x^2-1=0$

$\frac{25}{49} x^2=1$

$x^2=1:\frac{25}{49}$

$x^2=\frac{49}{25}$

$x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{49}{25}}$

$x_{1,2}=\pm \frac{7}{5}$

Ответ: $-\frac{7}{5}$ и $\frac{7}{5}$ .

Пример 4.

$9x^2+1=0$

$9x^2=-1$

$x^2=-\frac{1}{9}$

т.к. $-\frac{1}{9}<0$ , то решений нет.

2) Если $c=0$ , то уравнение принимает вид $ax^2+bx=0$ . Здесь два слагаемых, оба они содержат множитель $x$ , и его можно вынести за скобки:

$x(ax+b)=0.$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x=0$ или $ax+b=0$ . Корни уравнения:

$x=0$ или $x=-\frac{b}{a}$

Ответ: 0 и $-\frac{b}{a}$

Пример 5.

$-x^2-5x=0$

$-x(x+5)=0$

$-x=0$ или $x=-5$

Ответ: 0 и -5.

Пример 6.

$2x^2+6x=0$

Разделим обе части уравнения на 2. Уравнение станет проще.

$x(x+3)=0$

$x=0$ или $x=-3$

Ответ: 0 и -3.

Теорема Виета: Если $x_1$ и $x_2$ корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ ,

то $x_1+x_2=-\frac{b}{a},$ $x_1 x_2=\frac{c}{a}.$

Удобнее всего применять теорему Виета, если квадратное уравнения является приведенным, то есть когда $a=1$ .

Сумма корней $x^2+bx+c=0$ равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену. Найти их можно простым подбором.

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-b \\x_1\cdot x_2=c\end{matrix}\right.$

при $a=1$ .

Пример 7.

$x^2-7x+12=0$

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=7 \\x_1\cdot x_2=12\end{matrix}\right.$

$x_1=3;x_2=4$

Проверим: $3+4=7$ и $3\cdot 4=12$

Ответ: 3 и 4.

Пример 8.

$2x^2-6x+4=0$

Поделим обе части уравнения на 2, чтобы получилось приведенное квадратное уравнение.

$x^2-3x+2=0$

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=3 \\x_1\cdot x_2=2\end{matrix}\right.$

$x_1=2;x_2=1$

Действительно, $2+1=3$ и $2\cdot 1=2$

Ответ: 2 и 1.

Рассмотрим уравнения, которые сводятся к квадратным.

Пример 9.

Решим уравнение

$\frac{x^2-6}{x-3}=\frac{x}{x-3}$

Решение:

В этом уравнении переменная $x$ находится в знаменателе, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю (на ноль делить нельзя). Значит, для переменной $x$ появляется условие:

$x-3\neq0$

Это условие называется областью допустимых значений уравнения, сокращенно ОДЗ.

Область допустимых значений уравнения - это множество тех значений переменной, при которых уравнение имеет смысл.

Очевидно, что если какое-либо значение х не входит в ОДЗ, то оно никак не может быть корнем уравнения.

Мы получаем:

$x\neq3$

Теперь решим само уравнение.

Дроби равны, их знаменатели равны, значит, равны и числители:

$x^2-6=x$

$x^2-x-6=0$

Это полное квадратное уравнение. Можно решить его с помощью дискриминанта или воспользоваться теоремой Виета:

$\left\{\begin{matrix}x_1\cdot x_2=-6 \\x_1+x_2=1\end{matrix}\right.$

$x_1=3;x_2=-2$

Действительно, $-2\cdot 3=-6$ и $3+(-2)=-1$

Проверим, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений уравнения.

Видим, что $x=3\notin$ ОДЗ, а значит, не является корнем уравнения.

Ответ: -2.

Пример 10.

$\frac{x-4}{x}=\frac{2x+10}{x+4}$

Решение:

Такое уравнение называют дробно-рациональным. Оно выглядит как пропорция.

Знаменатели дробей не должны быть равны нулю. Поэтому область допустимых значений (ОДЗ) уравнения – это система условий:

$\left\{\begin{matrix}x\neq 0 \\x+4\neq 0\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}x\neq 0 \\x\neq -4\end{matrix}\right.$

Решим уравнение, применив основное свойство пропорции:

$(x-4)\cdot (x+4)=x\cdot(2x+10)$

В левой части формула сокращенного умножения.

$x^2-16=2x^2+10x$

$x^2-2x^2-10x-16=0$

$-x^2-10x-16=0$

Умножим обе части уравнения на (-1), чтобы получить приведенное квадратное уравнение.

$x^2+10x+16=0$

По теореме Виета:

$\left\{\begin{matrix}x_1\cdot x_2=16 \\x_1+x_2=-10\end{matrix}\right.$

$x_1=-2;$ $x_2=-8$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -2 и -8.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Квадратные уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 16.09.2023

Квадратные уравнения

Это полезно