Условие задачи
24. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
Каким из полезных фактов вы пользовались при доказательстве? Выберите правильный вариант. В ответе запишите (без точки) номер этого варианта, например: 1
1) Три высоты треугольника пересекаются в одной точке.
2) Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
3) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
Решение
Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, H - точка пересечения его высот.
Треугольник ABC вписан в окружность, угол ABC – вписанный, он равен половине центрального угла AOC, опирающегося на ту же дугу AC.
∠AOC=2∠ABC=120˚.
В четырехугольнике BEHK сумма углов равна 360 градусов, углы E и K прямые, значит, сумма углов EHK и EBK равна 180˚. Углы AHC и EHK – вертикальные, они равны. Получим, что ∠AHC=180˚-∠ABC=120˚.
Точки O и H лежат с одной стороны от отрезка AC, и отрезок AC виден из этих точек под одинаковыми углами 120 градусов. Значит, точки A, O, H, C лежат на одной окружности.
Мы пользовались полезным фактом под номером 2.
Ответ:
2
