Условие задачи
25. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение
Дано: ABCD – параллелограмм, AC – диагональ.
Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.
Пусть точки L, M и K - точки касания окружности со сторонами AB, BC, AC треугольника ABC, OH – расстояние от точки O до прямой AD.
По условию, AO=5; OH=4;
OK=3=OL=OM=r - радиус вписанной окружности.
1) Надо найти \(S_{ABCD}=a\cdot h_a\).
По условию, OH⊥AD; OM⊥BC; AD∥DC.
Тогда O∈MH, где MH – высота параллелограмма, MH=3+4=7.
2) ∆AOH – прямоугольный. По теореме Пифагора,
AH=3, т.к. AO=5 и OH=4.
3) Аналогично, ∆AOK – прямоугольный, в нем AO=5; OK=3, тогда AK=4.
Значит, ∆AOH=∆AOK, отсюда ∠OAK=∠AOH.
Также ∠OAK=∠OAB, т.к. AO – биссектриса ∠BAC,
тогда ∠AOH=∠OAB. Это накрест лежащие углы, поэтому AB∥MN.
Значит, ABCD – прямоугольник. AB=MN=7.
4) Найдем сторону BC.
O – центр вписанной окружности. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, поэтому
AK=AL=4; BL=BM=r=3; MC=CK=x.
Отсюда AB=7, BC=3+x, AC=4+x.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC,
\(AC^2=AB^2+BC^2\)
\((4+x)^2=7^2+(3+x)^2\)
\(16+8x+x^2=49+9+6x+x^2\)
2x=42
x=21
Получили, что BC=3+21=24, тогда площадь прямоугольника:
\(S_{ABCD}=7\cdot 24=168\).
Ответ:
168.
